初一年级下册数学知识点(2)

上周有个初一的学妹给我发消息，说刚学平方根快把头发薅秃了，每次做选择题问“9的平方根是多少”，总是不小心选成3，等到月考卷发下来，一道选择题3分，直接扣没了。

其实我初一学这节的时候也犯过同样的错，把算术平方根和平方根混着用，还总觉得“负数的平方根为什么不存在”，考完试对着错题本骂了自己十分钟，后来把整个逻辑捋顺了才发现，这节知识点根本不难，就是很多同学把定义记混了，再加上没搞懂平方根和算术平方根的关系，一考试就踩坑。

今天咱们就把初一下册数学里平方根相关的所有知识点全部拆碎了讲，看完你绝对能把这部分的分全部拿到手。

一、先搞懂：平方根到底是个啥？

咱们学这节知识之前，早就学过有理数的乘方运算，比如\( 2^2=4 \)，\( (-3)^2=9 \)，\( 0^2=0 \)，本质上就是求一个数的平方是多少。那反过来思考，如果一个数的平方等于4，这个数可能是几？很显然，2和-2的平方都等于4，这两个数就是4的平方根。

从上面的例子咱们能总结出平方根的第一个核心特点：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。也就是说，只要你知道其中一个平方根，就能立刻通过相反数的概念得到另一个。比如你知道4的一个平方根是2，那另一个必然是-2，完全不用额外计算。

再来看0的情况，因为只有0的平方等于0，所以0的平方根只有一个，就是0本身，这是唯一一个平方根只有一个的数。

那负数有没有平方根呢？在实数范围内，负数是没有平方根的，因为任何实数的平方都是非负数，不可能等于负数。只有在复数范围内，负数才可以开平方根，比如-1的平方根是\( \pm i \)，-9的平方根是\( \pm 3i \)，这部分内容初中阶段只需要了解即可，不需要深入计算。

另外要明确一个包含关系：平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种特殊存在，后续咱们会单独讲它的特点。

二、算术平方根：是平方根的“非负特供版本”

咱们先看算术平方根的定义：如果一个正数\( x \)的平方等于\( a \)，也就是\( x^2=a \)，那么这个正数\( x \)就叫做\( a \)的算术平方根。

这里的\( a \)叫做被开方数，记作\( \sqrt{a} \)，读作“根号\( a \)”。注意这里的定义里明确说了\( x \)是正数，所以算术平方根的结果一定是非负的，这是它和普通平方根最大的区别。

比如4的平方根是\( \pm2 \)，那它的算术平方根就是2；9的平方根是\( \pm3 \)，算术平方根就是3。哪怕被开方数本身是正数的平方，比如\( \sqrt{(-5)^2} \)，结果也是5，不是-5，因为算术平方根的定义限定了结果非负。

这里还要注意，被开方数\( a \)必须是非负数，因为只有非负数的平方才可能是非负数，所以\( \sqrt{-2} \)这类式子在实数范围内是没有意义的，很多同学会写成\( \pm\sqrt{2} \)，这是错误的，算术平方根本身就限定了结果非负，不存在负数的情况。

另外，算术平方根的表达式有一个固定的写法：\( \sqrt{a}=a \)（\( a \)为非负数），这个公式要记牢，它的含义是“非负数\( a \)的算术平方根的平方等于\( a \)本身”，反过来理解也成立，如果\( \sqrt{b}=c \)，那么\( b=c^2 \)，而且\( c \)一定是非负的，比如\( \sqrt{b}=4 \)，那么\( b \)一定是16，不可能是-16。

三、开平方：求平方根的逆运算

咱们之前学了乘方，也知道乘方和开方是互逆运算，那开平方到底是什么？它的定义是：求一个非负数\( a \)的平方根的运算，叫做开平方，其中\( a \)还是被开方数。

开平方的结果是什么？是\( a \)的平方根，也就是\( \pm\sqrt{a} \)，而算术平方根只是开平方得到的两个结果里的非负那个。比如求16的平方根，就是开平方运算，结果是\( \pm4 \)，而16的算术平方根是4，只是开平方结果的一部分。

这里很多同学会搞混开平方的结果和算术平方根的区别，做题目的时候如果问“16的平方根是多少”，你要写\( \pm4 \)，如果问“16的算术平方根是多少”，你只写4就行，要是问“求16的算术平方根的相反数”，那就是-4，千万别搞混顺序。

四、这些易混点，搞懂了再也不会丢分

我整理了几个大家平时做题最容易踩的坑，每一个都是高频考点，一定要记牢：

第一个坑：平方根和算术平方根的个数问题。正数有两个平方根，算术平方根只有一个；0的平方根和算术平方根都是0，是唯一个两者相等的数；负数没有平方根，更不存在算术平方根。

第二个坑：符号的归属问题。\( \sqrt{a} \)（\( a\geq0 \)）本身就是算术平方根，结果一定是非负的，要是看到前面加了“±”，比如\( \pm\sqrt{a} \)，那才是\( a \)的平方根。

比如\( -\sqrt{16} \)，这里的负号是在根号外面的，结果是-4，不是4，别看到根号就默认结果是正的。

第三个坑：求“某个数的平方根”和“某个算术平方根的平方根”的区别。

比如题目问“\( \sqrt{81} \)的平方根是多少”，你先算\( \sqrt{81}=9 \)，所以这道题其实是求9的平方根，答案是\( \pm3 \)，很多同学会直接答\( \pm9 \)，这就是没搞懂运算顺序，先算了根号，再求平方根，就容易错。

第四个坑：结合平方的题目。比如“若\( x^2=25 \)，求\( x \)的值”，这里的\( x \)是25的平方根，所以\( x=\pm5 \)，不要只写5；

如果题目是“若\( \sqrt{x}=5 \)，求\( x \)的值”，这里的\( \sqrt{x} \)是算术平方根，所以\( x=5^2=25 \)，不存在负数的情况，这两个题目看起来很像，答案却完全不同，就是因为前者是求平方根，后者是求算术平方根对应的被开方数。

再比如一个实际应用的例子：一个正方形的面积是36平方米，它的边长是多少？因为边长是长度，不可能是负数，所以这里要用算术平方根，边长是6米，要是你写\( \pm6 \)，肯定会被扣分，因为结合实际情境的话，负数是没有实际意义的。

五、几个常考题型练手，看完就会做

为了帮大家巩固知识点，我找了几个最常考的题型，你可以先自己做一遍，再对答案：

1. 求16的平方根和算术平方根。

解：因为\( (\pm4)^2=16 \)，所以16的平方根是\( \pm4 \)，算术平方根是4。

2. \( \sqrt{64} \)的平方根是多少？

解：首先计算\( \sqrt{64}=8 \)，所以这道题等价于求8的平方根，答案是\( \pm2\sqrt{2} \)。

3. 若\( x^2=49 \)，求\( x \)的值。

解：\( x \)是49的平方根，所以\( x=\pm7 \)。

4. 已知\( \sqrt{a-2}=3 \)，求\( a \)的值。

解：根据算术平方根的定义，\( a-2=3^2=9 \)，所以\( a=9+2=11 \)。

5. 计算：\( \sqrt{(-6)^2}+|\sqrt{3}-2| \)。

解：首先\( \sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6 \)，然后\( \sqrt{3}\approx1.732 \)，所以\( \sqrt{3}-2 \)是负数，绝对值是\( 2-\sqrt{3} \)，所以整个式子的结果是\( 6+2-\sqrt{3}=8-\sqrt{3} \)。

其实这节知识点真的不难，核心就是把几个定义记牢：平方根是两个互为相反的非零数，算术平方根是其中非负的那个，开平方是求平方根的逆运算，被开方数不能是负数。很多同学一看到根号就慌，其实你把定义拆清楚了，根本不会错。

下次再做这类题的时候，先看题目问的是平方根还是算术平方根，要是问平方根就别忘了写负的那个，问算术平方根就只写非负的就行。

我当年把这几个定义背熟之后，再做这类题从来没丢过分，你们要是还有哪里搞不懂，评论区留言，我看到都会回。