高一数学必修五：不等式，别怕，它只是个“大小比较器”

【来源：易教网 更新时间：2025-11-17】

你有没有发现，数学里最让人头疼的，往往不是计算有多复杂，而是概念太抽象？比如不等式，一听名字，好像就要跟“大于”“小于”较劲，心里先打退堂鼓。其实，不等式没那么神秘，它就是生活里天天在用的“谁多谁少”——你比他多花了五块钱，你家的水费比上个月涨了，你考试分数比上次高了十来分——这些，都是不等式。

高中数学必修五第一章，讲的就是不等式。别被课本上一堆符号吓住，我们把它拆开，从你熟悉的生活场景说起。

一、不等式是什么？就是“不是一样多”

课本说：“用符号 >、<、≥、≤、≠ 连接两个数或代数式，叫做不等式。”听起来像定义，其实是废话。真正重要的是：不等式不是要你算出精确值，而是告诉你，两个东西，谁大谁小，或者可能大可能小。

比如你妈妈说：“你这周零花钱不能超过50块。”这句话，就是个不等式：x ≤ 50。它没说你拿48块还是45块，但它划了条线，告诉你边界在哪。这就是不等式的实际意义——划定范围，而不是锁定答案。

再比如，你和同学比谁跑得快，你说：“我每次比他快两秒以上。”这句话，就是个不等关系：你的用时 < 他的用时 - 2。不需要知道具体时间，就能判断你赢了。

所以，别把不等式当成新知识去背，它只是你从小到大都在用的“比较思维”，数学给它起了个正式名字。

二、怎么比大小？别急着算，先做差

课本讲了：比较两个实数 a 和 b 的大小，看 a - b 的结果。a - b > 0，说明 a > b；a - b = 0，说明相等；a - b < 0，说明 a < b。

这方法听起来简单，但很多学生一遇到字母表达式就懵了。比如：已知 a > b，问 a 和 b 谁大？很多人直接说“a大，平方当然也大”，结果错了——如果 a = -1，b = -3，a > b，但 a = 1，b = 9，反而 b 更大。

这时候，别靠直觉，老老实实做差：a - b = (a - b)(a + b)。既然 a > b，那么 a - b > 0，但 a + b 可能正、可能负，结果就不确定了。

关键不是记住结论，而是学会“做差”这个动作。

你遇到任何两个代数式比较大小，别慌，先写：A - B，然后试着因式分解，或者配方。比如比较 x + 3x + 5 和 2x + 4，别代数字试，直接算：

(x + 3x + 5) - (2x + 4) = x + x + 1

现在看这个式子：x + x + 1。你能判断它恒大于0吗？可以。因为判别式 Δ = 1 - 4×1×1 = -3 < 0，开口向上，所以整个式子永远在x轴上方。所以，x + 3x + 5 > 2x + 4 对所有实数x都成立。

这就是“作差法”的威力——把模糊的“谁大谁小”，变成清晰的“差值正负”。

三、不等式的性质，不是新规则，是常识的升级版

课本列了六条性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、可乘方、可开方。看起来像一堆条文，其实每一条，都是你小学就懂的逻辑，只是现在用数学语言重新包装。

- 对称性：a > b，那就说明 b < a。这不就是“你比我高，那我就比你矮”？

- 传递性：a > b，b > c，那 a > c。这就像你比你哥高，你哥比你弟高，你自然比你弟高。

- 可加性：a > b，那 a + 5 > b + 5。两边同时加东西，关系不变。你和朋友都涨了100块工资，你本来比他多，现在还是多。

- 可乘性：a > b，c > 0，那 ac > bc。正数乘，大小不变。但如果 c < 0，比如你欠了100块，别人欠你200块，现在每人债务翻倍，你欠200，他欠400，你反而“更少欠”了，也就是 ac < bc。乘负数，不等号要翻转。

这是唯一容易错的地方，但只要记住：“负数会让顺序倒过来”，就不会错。

至于可乘方、可开方，前提是“都是正数”。比如 a > b > 0，n 是正整数，那 a > b，√a > √b。为什么？因为正数的幂和根号，都是“单调递增”的函数。负数不行，0也不行，别乱用。

四、待定系数法？其实是“拼图游戏”

课本提到“待定系数法”求代数式的范围，听起来很高大上。其实，它就是你小时候玩的“用几个积木拼出一个图形”。

比如：已知 -1 < a < 2，1 < b < 3，求 2a - b 的取值范围。

你不能直接拿 -1 和 2 去算 2×(-1) - 3 = -5，2×2 - 1 = 3，然后说范围是 -5 到 3。错！因为 a 和 b 是同时变化的，不是独立取极值。

正确做法：设 2a - b = m(a) + n(b)，但我们已经知道它就是 2a - b，所以直接用范围推。

a ∈ (-1, 2)，所以 2a ∈ (-2, 4)

b ∈ (1, 3)，所以 -b ∈ (-3, -1)

现在，2a - b = 2a + (-b)，两个区间相加：(-2, 4) + (-3, -1) = (-5, 3)

所以，2a - b ∈ (-5, 3)

这就是待定系数法的本质：把目标表达式拆成已知量的线性组合，再分别处理范围，最后合并。

别怕它叫“待定系数”，它就是个加减法的区间运算。

五、别迷信公式，要理解逻辑

很多人学不等式，拼命记性质，背口诀：“同向可加，正可乘，负要翻”。但考试一变题，就乱套。

真正的关键，是理解：不等式是关系，不是等式。它不追求精确值，只关心趋势和边界。

你做题时，遇到复杂表达式，先问自己：

- 我能不能用“作差”？

- 能不能拆成已知范围的组合？

- 有没有负数？有没有零？

- 乘法会不会让方向反转？

这些，比背十条性质都重要。

高一的不等式，不是为了让你解出“x=5”这种答案，而是让你学会：

在不确定的世界里，如何用数学语言，说清楚“大概在什么范围”“谁更可能大”“什么时候会出问题”。

这，才是未来学概率、学统计、学优化、甚至做投资理财时，真正需要的能力。

别把它当成考试的绊脚石，把它当成你理解世界的工具。

你不需要记住所有符号，你只需要记住：

比较，是人的本能；数学，只是帮你说得更清楚。