初一下册数学知识点(6)

一、先搞懂：什么是立方根？

很多刚接触立方根的同学，总把它和前面学的平方根搞混，今天咱们把这块知识点彻底捋明白，把基础打牢，后面学实数、解方程都能用得着。

咱们先看官方定义：一般地，如果一个数\( x \)的立方等于\( a \)，也就是\( x^3 = a \)，那么这个数\( x \)就叫做\( a \)的立方根，也叫做三次方根。数学里专门用符号\( \sqrt[3]{a} \)来表示\( a \)的立方根，读作“三次根号\( a \)”。

给大家举几个例子帮助理解：2是8的立方根，因为\( 2^3=8 \)，对应写成\( \sqrt[3]{8}=2 \)；

\( -\frac{2}{3} \)是\( -\frac{8}{27} \)的立方根，因为\( \left(-\frac{2}{3}\right)^3=-\frac{8}{27} \)，对应\( \sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3} \)；

0的立方根还是0，也就是\( \sqrt[3]{0}=0 \)，这个是最特殊的，大家要记牢。

二、立方根的3个核心性质，记牢了少丢分

立方根的性质是这块内容的重点，也是考试填空题、选择题的高频考点，一共3条，非常好记：

1. 正数的立方根是正数；

2. 负数的立方根是负数；

3. 0的立方根是0。

这里要额外说一个和平方根完全不同的点：互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。比如8和-8互为相反数，它们的立方根2和-2也互为相反数，对应到公式就是\( \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a} \)，这个变形后面化简计算的时候经常能用得上，大家最好能直接记住。

三、两个互逆运算，千万别搞混

立方和开立方是一对互逆运算，就像我们之前学的加法和减法、乘法和除法一样，是相反的操作：如果你知道了一个数的立方结果，求原来的数，就是开立方运算；如果你知道了一个数，求它的立方，就是立方运算。

大家可以通过下面两个式子理解互逆的关系：\( \left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a \)，\( \sqrt[3]{a^3}=a \)，这两个式子说明开立方和立方抵消，大家别把平方和开平方的互逆关系套到立方这里，避免搞混。

四、立方根比较大小的3种方法，考试常考

很多同学碰到比较立方根大小的题就发懵，其实一共就3种方法，对应不同的题型，掌握了根本不用怕：

方法1：分别立方比较

如果两个数都是立方根的形式，直接把两个数分别做立方，比较立方后得到的结果大小就行。因为立方运算在正数里是单调递增的，立方后大的数，原来的立方根也大。

比如比较\( \sqrt[3]{3} \)和\( \sqrt[3]{2} \)的大小，分别立方得到\( \left(\sqrt[3]{3}\right)^3=3 \)，\( \left(\sqrt[3]{2}\right)^3=2 \)，因为3＞2，所以直接能得出\( \sqrt[3]{3}>\sqrt[3]{2} \)，这个方法是最常用的，大家优先用。

方法2：作差比较

如果两个数一个是立方根，一个是普通整数或者分数，就用作差法，把两个数相减，看差是正还是负：如果差是正，说明前面的数大；如果差是负，说明后面的数大。

比如比较\( \sqrt[3]{5} \)和2的大小，作差得到\( \sqrt[3]{5}-2 \)，我们可以把2写成\( \sqrt[3]{8} \)，因为\( 2^3=8 \)，所以差就变成了\( \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{8} \)，因为5＜8，所以\( \sqrt[3]{5}<\sqrt[3]{8} \)，差是负数，所以\( \sqrt[3]{5}<2 \)。

方法3：直接比较被开方数

这个方法最快，但适用范围最窄：只有当两个数都是正的立方根的时候，才能直接比较被开方数的大小，被开方数越大，对应的立方根就越大。

比如\( \sqrt[3]{10} \)和\( \sqrt[3]{7} \)，因为10＞7，所以直接得出\( \sqrt[3]{10}>\sqrt[3]{7} \)，但如果是带负数的，比如\( \sqrt[3]{-5} \)和\( \sqrt[3]{-3} \)，就不能直接比被开方数了，因为负数比较大小是绝对值大的反而小，这时候要么分别立方，要么作差，不能用方法3。

五、学立方根最容易踩的5个坑，提前避雷

很多同学这块知识点学的时候感觉简单，一考试就丢分，基本都是踩了下面这几个坑，大家提前记牢：

1. 别把立方根和平方根的性质搞混：平方根里负数没有意义，只有非负数才有平方根，而且一个正数的平方根有两个，互为相反数；但立方根里任何数都有立方根，一个数的立方根只有一个，这是两个概念最大的区别，考试经常出判断题考这个点。

2. 负数不能开平方，但能开立方：很多同学一看到被开方数是负数，就认为没有意义，这是平方根的思维套到立方根上了，负数的立方肯定是负数，所以负数的立方根一定存在，而且是负数，这个一定要记牢。

3. 立方和开立方是互逆运算，别和平方开平方搞混：比如\( \sqrt{(-3)^2}=3 \)，但\( \sqrt[3]{(-3)^3}=-3 \)，因为开平方要取绝对值，开立方不用，很多同学这里容易算错。

4. 比较大小的时候别乱用方法：只有两个正立方根才能直接比被开方数，带负数或者有普通数的，要么做立方要么作差，别看到被开方数大就直接说立方根大，容易踩坑。

5. 立方根的符号别写错：很多同学写负数的立方根的时候，容易把负号漏掉，或者写到根号里面去，记住负数的立方根是负数，所以负号一定要放在根号的外面，比如\( \sqrt[3]{-8}=-2 \)，别写错符号位置，还有\( \sqrt[3]{-a^3}=-a \)这个变形要记牢，别搞错符号。

这块知识点是初一下册的重点，也是后面学实数、解一元一次方程的基础，大家把上面的性质和易错点记熟，开学检测碰到相关的题基本不会丢分，要是还有哪里看不懂，评论区留言，咱们再细讲。