掌握因式分解的“钥匙”：从平方差公式开始，轻松攻克初中数学难题

【来源：易教网 更新时间：2025-10-16】

在初中数学的学习中，很多同学对“因式分解”这个词感到头疼。它听起来抽象、复杂，好像和我们平时做题的思路完全不一样。但其实，只要掌握了一两个关键方法，你会发现，因式分解并不是一道难以逾越的坎，反而像一把打开数学大门的钥匙。

今天，我们就来聊一聊这个让不少学生“望而生畏”的知识点——用平方差公式进行因式分解。它不只是一种解题技巧，更是一种思维方式的训练。只要你愿意花一点时间去理解它的本质，就能在考试中游刃有余，甚至还能感受到数学带来的那种“原来如此”的惊喜。

一、从熟悉的乘法出发，发现隐藏的规律

我们先来回顾一个大家非常熟悉的内容：

计算 \( (a+5)(a-5) \)，你会怎么算？

很简单，直接相乘：

\[ (a+5)(a-5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25 \]

再来看另一个例子：

\[ (4m + 3n)(4m - 3n) = (4m)^2 - (3n)^2 = 16m^2 - 9n^2 \]

你有没有注意到什么共同点？左边是两个“和”与“差”的乘积，右边却变成了一个平方减另一个平方的形式。

这其实正是我们今天要讲的核心公式——平方差公式：

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

这个公式看起来简单，但它背后藏着一种非常重要的思维模式：把“减法”变成“乘法”。也就是说，原本我们看到的是两个数的平方相减，现在我们可以把它拆成两个括号的乘积。

这就像你手里有一张纸，正面写着“\( a^2 - b^2 \)”，背面写着“\( (a+b)(a-b) \)”。它们其实是同一个东西的两种表达方式。学会看懂这种“互换关系”，你就掌握了因式分解的一条重要路径。

二、为什么我们要学这个？它真的有用吗？

可能有人会问：“我以后又不用这个去算菜价，干嘛非得学会因式分解？”

其实，这个问题的答案就在日常学习里。

比如你在做代数题时，经常遇到这样的式子：

\[ x^2 - 9y^2 \]

如果你不知道平方差公式，可能会卡住，觉得无从下手。但一旦你知道它可以写成：

\[ (x + 3y)(x - 3y) \]

那问题就迎刃而解了。

更进一步，在解方程、化简分式、求函数零点等场景中，因式分解都是必不可少的工具。特别是在中考压轴题中，常常需要通过因式分解找到关键突破口。

所以，这不是为了“应付考试”才学，而是为了真正理解代数的本质。

三、实战演练：5道典型例题带你上手

下面我们来看几个典型的题目，一步步拆解它们的解法，让你真正“看得懂、学得会”。

题目1：\( x^2 - 9y^2 \)

观察这个式子，是不是很像 \( a^2 - b^2 \) 的形式？

- \( x^2 \) 就是第一个平方项，

- \( 9y^2 = (3y)^2 \)，所以第二个平方项是 \( (3y)^2 \)。

于是我们可以直接套公式：

\[ x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y) \]

这就是答案。简单吧？

题目2：\( 16x^4 - y^4 \)

这个稍微复杂一点，但依然可以看作平方差。

注意：\( 16x^4 = (4x^2)^2 \)，而 \( y^4 = (y^2)^2 \)。

所以：

\[ 16x^4 - y^4 = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = (4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2) \]

到这里还没完！因为 \( 4x^2 - y^2 \) 本身也符合平方差公式：

\[ 4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y) \]

所以最终结果是：

\[ (4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y) \]

这里的关键在于：不要急于结束。每一步都要检查是否还能继续分解，直到彻底为止。

题目3：\( 12a^2x^2 - 27b^2y^2 \)

这道题有点“藏”得深。一眼看过去，好像不符合平方差的样子。

但我们先看系数：12 和 27，有没有公因数？有，是3。

先把3提出来：

\[ 12a^2x^2 - 27b^2y^2 = 3(4a^2x^2 - 9b^2y^2) \]

接下来，看看括号里的部分：

- \( 4a^2x^2 = (2ax)^2 \)

- \( 9b^2y^2 = (3by)^2 \)

所以：

\[ 4a^2x^2 - 9b^2y^2 = (2ax + 3by)(2ax - 3by) \]

因此原式变为：

\[ 3(2ax + 3by)(2ax - 3by) \]

这说明：遇到复杂的式子，先看有没有公因数可提取，然后再考虑平方差。

题目4：\( (x + 2y)^2 - (x - 3y)^2 \)

这次不是简单的字母平方，而是整个括号的平方。但这并不影响我们使用平方差公式。

记住：平方差公式中的 \( a \) 和 \( b \) 可以是任何代数式，不只是单个字母。

设：

- \( A = x + 2y \)

- \( B = x - 3y \)

那么原式就是：

\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \]

计算 \( A + B \) 和 \( A - B \)：

- \( A + B = (x + 2y) + (x - 3y) = 2x - y \)

- \( A - B = (x + 2y) - (x - 3y) = 5y \)

所以结果是：

\[ (2x - y)(5y) = 5y(2x - y) \]

这个例子告诉我们：不要被外表迷惑。即使里面是复杂的括号，只要结构对了，照样能用公式。

题目5：\( m^2(16x - y) + n^2(y - 16x) \)

这道题最“狡猾”，因为它看起来不像平方差。

先看两项：

- 第一项：\( m^2(16x - y) \)

- 第二项：\( n^2(y - 16x) \)

你发现了什么？\( y - 16x \) 和 \( 16x - y \) 是相反数！

也就是说：

\[ y - 16x = -(16x - y) \]

所以第二项可以改写为：

\[ n^2(y - 16x) = -n^2(16x - y) \]

于是原式变成：

\[ m^2(16x - y) - n^2(16x - y) \]

现在，两个项都有 \( (16x - y) \)，可以提取公因式：

\[ (16x - y)(m^2 - n^2) \]

而 \( m^2 - n^2 \) 正好又是平方差：

\[ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) \]

所以最终答案是：

\[ (16x - y)(m + n)(m - n) \]

这道题教会我们：有时候真正的突破口，藏在“变形”之中。要学会识别“看似不同实则相关”的结构。

四、如何避免常见错误？几点提醒

在实际练习中，很多同学容易犯以下几种错误：

1. 忽略公因数

比如看到 \( 12a^2x^2 - 27b^2y^2 \)，直接想用平方差，结果漏掉了前面的3。一定要养成“先看是否有公因数”的习惯。

2. 分解不彻底

像 \( 16x^4 - y^4 \)，分解到 \( (4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2) \) 就停了，但后面还可以继续分解。记得每一步都问问自己：“还能不能再拆？”

3. 混淆符号

特别是在处理像 \( y - 16x \) 这样的反向表达式时，容易搞错正负号。建议多写几步，确保逻辑清晰。

4. 忘记验证

分解完后，不妨把结果展开，看看是否等于原来的式子。这是检验正确性的最好办法。

五、思维升级：从“会做”到“会想”

学习数学，不只是为了得出正确答案，更是为了培养一种思维方式。

当你看到一个复杂的式子，能第一时间想到：“它能不能变成平方差？”、“有没有公因数？”、“要不要先变形？”——这就意味着你已经进入了主动思考的状态。

这种能力，不仅适用于因式分解，也会贯穿整个中学阶段的代数学习。

举个例子，当你将来学习一元二次方程时，解法之一就是因式分解。如果现在打好了基础，未来面对 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 这类题目时，你会立刻想到：

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

而不是一头雾水地去背公式。

六、给家长的小建议：怎么帮孩子学好这一块？

如果你是家长，看到孩子在因式分解上卡壳，不要急着替他做题，也不要批评“这么简单都不会”。

你可以这样引导：

- 一起回顾平方差公式的推导过程；

- 让孩子试着把已知的乘法算式反过来写成因式分解；

- 鼓励他多动手，哪怕错了也没关系，关键是“试一试”；

- 在日常生活中找些类似的情境，比如两组数字的平方差，让孩子感受数学的普遍性。

记住：兴趣是最好的老师。当孩子发现“原来我也能解开这些‘怪题’”，他的信心就会慢慢建立起来。

每一个“难点”，都是通往“通透”的台阶

因式分解不是魔法，也不是天才专属。它是无数个普通学生在反复练习中积累出来的经验，是数学世界里一条清晰而有力的线索。

只要你愿意停下来，认真看一看那些看似枯燥的公式，试着去理解它们背后的逻辑，你会发现：原来数学也可以这么有趣。

下一次当你看到 \( a^2 - b^2 \)，不再只是“又要用了”，而是轻轻一笑：“哦，又是老朋友了。”

那一刻，你就真正掌握了它。

加油吧，每一个正在努力学习的你。