高一物理必修二万有引力定律综合复习指南

【来源：易教网 更新时间：2025-07-23】

从苹果坠落到行星轨道，万有引力定律揭示了自然界最根本的相互作用力。作为高中物理的核心章节，万有引力定律不仅承载着经典力学的智慧结晶，更是连接宏观天体运动与微观力学原理的桥梁。本文将系统梳理该章节的核心考点，通过理论推导、案例分析和易错点提示，构建完整的知识网络。

一、定律基石：万有引力的数学表达

1.1 定律公式与常量

万有引力定律的数学表达式为：

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

其中引力常量 \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \)，该数值由卡文迪许通过扭秤实验精确测定。需特别注意：

- 量纲分析：通过单位制验证公式合理性（N·m/kg 与力、质量、距离单位的组合关系）

- 方向特性：引力始终沿两物体质心连线方向，体现矢量性

1.2 适用条件解析

- 质点模型：当物体尺寸 \( l \ll r \) 时可视为质点（如地球与卫星）

- 均质球体：两均匀球体间引力等效于质量集中于球心的点质量模型

- 特殊情形：对于非球形天体或近距离物体，需采用更复杂的引力场模型

二、核心应用场景解析

2.1 天体质量测定术

方法一：环绕法

对于绕中心天体做圆周运动的卫星：

\[ G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]

推导得中心天体质量：

\[ M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \]

*典型案例*：通过月球轨道周期计算地球质量

方法二：表面重力法

在天体表面：

\[ mg = G \frac{Mm}{R^2} \]

得质量表达式：

\[ M = \frac{g R^2}{G} \]

*注意*：需区分赤道与极地重力加速度差异（地球约差0.034 m/s）

2.2 宇宙速度体系

速度类型	表达式	物理意义
第一宇宙速度	\( v = \sqrt{gR} \approx 7.9 \, \text{km/s} \)	近地轨道最小发射速度
第二宇宙速度	\( v = \sqrt{2gR} \approx 11.2 \, \text{km/s} \)	脱离地球引力所需速度
第三宇宙速度	\( v \approx 16.7 \, \text{km/s} \)	脱离太阳系所需速度

推导技巧：结合动能定理与引力势能变化进行推导，理解能量守恒思想

2.3 开普勒定律的物理本质

1. 轨道定律：行星轨道为椭圆，太阳位于焦点（数学证明需二体问题假设）

2. 面积定律：单位时间扫过面积相等，等价于角动量守恒

3. 调和定律：轨道半长轴立方与周期平方成正比，即 \( \frac{a^3}{T^2} = \text{常数} \)

*深层联系*：开普勒第三定律可推导出 \( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M+m)}{4\pi^2} \)，当中心天体质量远大于行星时，简化为 \( \frac{a^3}{T^2} \propto M \)

三、高频考点突破

3.1 黄金代换式

由 \( mg = G \frac{Mm}{R^2} \) 得 \( GM = gR^2 \)，该式在无G值时尤为重要：

- 推导天体密度：\( \rho = \frac{3g}{4\pi G R} \)

- 计算同步卫星轨道：结合 \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) 进行联立求解

3.2 引力加速度变化规律

- 高度影响：\( g(h) = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \)，当 \( h \ll R \) 时近似为 \( g(h) \approx g_0 (1 - \frac{2h}{R}) \)

- 纬度影响：考虑地球自转影响，赤道处重力加速度最小

- 深度影响：地下某深度d处重力加速度 \( g' = g_0 (1 - \frac{d}{R}) \)

3.3 双星系统模型

特征分析：

- 角速度相同：\( \omega_1 = \omega_2 \)

- 向心力由相互引力提供：\( G \frac{m_1 m_2}{L^2} = m_1 \omega^2 r_1 = m_2 \omega^2 r_2 \)

- 轨道半径与质量成反比：\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{m_2}{m_1} \)

四、典型例题精讲

例1：已知月球绕地球周期T=27.3天，轨道半径r=3.84×10m，求地球质量。

解：

\[ M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{4 \times (3.1416)^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (27.3 \times 86400)^2} \approx 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg} \]

例2：某行星半径为地球2倍，表面重力加速度为地球1/4，求该行星平均密度。

解：

由 \( g = \frac{GM}{R^2} \) 和 \( \rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \) 联立得：

\[ \rho = \frac{3g}{4\pi G R} = \frac{3 \times (9.8/4)}{4 \times 3.1416 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 6.37 \times 10^6} \approx 1.2 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 \]

五、学习策略建议

1. 模型构建：制作天体运动参数表（M、R、g、T等），强化数据敏感性

2. 错题本：重点记录以下易错点：

- 混淆轨道半径与天体半径

- 忽略天体自转对重力的影响

- 单位换算错误（特别是秒与天的转换）

3. 拓展阅读：

- 推荐《从一到无穷大》中关于宇宙尺度的章节

- 观看NASA公布的卫星发射实况，理解轨道力学应用

通向星辰大海的阶梯

万有引力定律不仅是考试重点，更是人类探索宇宙的钥匙。从牛顿的苹果到探测器着陆火星，这条科学脉络始终贯穿其中。建议同学们在掌握公式推导的同时，多关注现代航天技术中的实际案例，让物理学习真正实现"顶天立地"——既扎根经典理论，又触及科技前沿。