用方程思想解决“牛吃草”问题的通用方法

"牛吃草"问题是小学数学中的一个专题，也是小升初考试中常常涉及的题型。目前小学教材中对此类问题的通用解法是用算术方法逐步分析求解。由于 变量较多，同学们常常分不清数字之间的关系而得出错误的结果。本人利用数学中方程思想对此类题目进行分析，并在此基础上提出解决此类问题的通用方法。

一、问题提出

有这样的问题，如：牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题统称为"牛吃草"问题，它们的共同特点是由于每个单位时间草的数量在发生变化，从而导致时间不同，草的总量也不相同。

目前小学奥数辅导教材中对此类问题的通用解法是用算术方法求出每个单位时间草的变化量等于多少头牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少头牛的吃 草量，从而得出答案。这种方法在数量之间的关系换算上较麻烦，一旦题目增加难度，或与工程问题结合，转成进水排水问题，常常使人找不到解题的正确思路。

如 果用方程思想求解此类问题，思路可以清晰，步骤也可以明确，并形成一个通用的方法。

二、方程解题方法

用方程思路解决"牛吃草"问题的步骤可以概括为三步：

1、 设定原有草的总量和单位时间草的变化量，一般设原有总量为1，单位时间变化量为X；

2、 列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量+一定时间内变化的量）、每头牛单位时间吃草数量

3、 根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X，从而可以求出任意时间的草的总量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。从而针对题目问题设未知数为Y进行求解。

下面结合几个例题进行分析：

例题1：一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？

解：第一步：设牧场原有草量为1，每周新长草X；

第二步：列表格如下：

第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：

(1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6                  (1)

(1-5X)/20*5 = (1-YX)/11Y                   (2)

由（1）得到X=1/30，

代入（2）得到Y=8（天）

"牛吃草"问题常常以进排水或排队等其他的形式出现在考试中，这种问题也可通过方程思想迎刃而解。

例题3：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

解：第一步：设水池原有水量为1，每小时泉水涌出X；

第二步：列表格如下：

第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：

(1+90X)/110*90 = (1+210X)/90*210            (1)

(1+90X)/110*90 = X/Y                        (2)

由（1）得到 X=1/42

代入（2）得到 Y=75（亿人）

例题5：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍 10分钟消失，那么需同时开几个检票口？

解：第一步：设开始检票之前人数为1，每分钟来人X；

第二步：列表格如下：

第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：

(1+30X)/5*30 = (1+20X)/6*20                  (1)

(1+30X)/5*30 = (1+10X)/10Y                   (2)

由（1）得到X=1/20，

代入（2）得到Y=9（个）

三  计算机程序算法的初探

根据以上对"牛吃草"问题的分析，我们知道由于解题格式固定，此类问题完全可以编制计算机程序输入计算机之中，对更复杂的该类题目用计算机求解。由于我希望得到此类问题的通用解法，所以我只列出计算机程序的算法，具体可以用各类编程语言加以实现

1 判断草均匀成长还是均匀减少；

2 定义三个变量保存已知的牛的数量A,B,C；

3 再定义两个变量保存相应的牛吃草的天数D,E,F；

4 定义吃草函数的函数体：f(x)=1+Mx(均匀增长时候)，f(x)=1-Mx(均匀减少时候)；并将天数变量传参；

5 根据表格算法求出对应的天数。

四、结论

通过五个例题的演示，我们可以得出解决类似"牛吃草"问题的通用解法，即首先设定单位时间的变化量及原有总量，其次通过表格形式表达出单位时间内"单位牛的吃草量"，最后列出方程求解答案。这种方法对任何该类题型都适用，而且思路清晰，步骤明确，不易出错。