高中数学集合知识点总结，看这一篇就够了！

集合太简单？你可能没抓住核心

最近很多同学在后台留言，说集合这一章学得云里雾里，考试总是丢分。我告诉你，集合是高中数学最简单的章节之一，没有之一。你之所以觉得难，是因为你没有抓住本质。今天，我就用最通俗的语言，把集合这一章翻来覆去讲清楚，让你以后遇到集合题，要么不做，做就拿满分。

集合到底是个什么东西？

集合，这个词听起来高大上其实就是一堆东西放在一起。你家里有一堆书，这堆书就是一个集合；你们班有一群同学，这群同学也是一个集合。数学上，集合就是指具有某种特定性质的事物的总体。

集合有三个特性，你必须死记硬背下来：

- 确定性：一个东西在不在集合里，必须很明确，不能含糊。比如“所有高个子”就不是一个集合，因为多高算高？没有明确标准。但“身高180厘米以上的同学”就是一个集合。

- 互异性：集合里的元素不能重复出现。你见过一个班里有两个张三吗？就算有，老师也叫他们张三1、张三2。集合也一样，相同的元素只能出现一次。

- 无序性：集合里的元素没有顺序要求。{1,2,3}和{3,2,1}是同一个集合，就像你买水果，先买苹果后买香蕉，和先买香蕉后买苹果，水果还是那些水果。

表示集合的四种方法，你会几种？

数学上表示集合有四种方法，你必须全部掌握，因为考试中随时可能出现。

第一种是列举法。就是把集合里的元素全部写出来，用大括号括起来。比如你们小组有四个人：小明、小红、小刚、小丽，就可以表示为{小明, 小红, 小刚, 小丽}。这种方法简单粗暴，适用于元素不多的情况。

第二种是描述法。就是用一句话描述集合中元素的共同特征。比如所有偶数，就可以表示为{x ∈ | x是偶数}，或者更简单地{x | x = 2k, k ∈ }。注意，这里用的是竖线，意思是“满足以下条件的x”。再比如，所有大于3的实数，就可以表示为{x ∈ | x > 3}。

第三种是语言描述法。就是用文字描述。比如“不是直角三角形的三角形”，这就是一个集合，虽然没有明确写出元素，但描述很清楚。

第四种是Venn图。就是用图形表示集合之间的关系。比如用两个相交的圆表示两个集合的交集。这种方法在做题时特别有用，可以直观地看出集合之间的关系。

常用的数集记法，你必须倒背如流：

- 自然数集（也就是非负整数集）：

- 正整数集：* 或

- 整数集：

- 有理数集：

- 实数集：

考试时看到这些符号，你必须第一时间反应出来，否则做题会很慢。

集合之间到底什么关系？

集合之间的关系有三种：包含、相等、真子集。

包含就是A集合的所有元素都在B集合里，记作A B。你要注意，包含有两种情况：一是A是B的一部分，二是A和B是同一个集合。所以，任何一个集合都是它本身的子集，即A A。

如果A B，但A ≠ B，那么A就是B的真子集，记作A B（或B A）。真子集就是A比B小，但A里的东西B都有。

相等就是两个集合的元素完全相同，记作A = B。比如A = {x | x - 1 = 0}，B = {-1, 1}，这两个集合相等，因为它们的元素都是-1和1。

这里有个非常重要的传递性：如果A B，B C，那么A C。这个性质在证明题中经常用到。

还有一个超级重要的点：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。这句话你给我抄十遍！考试中经常有同学忽略空集，结果丢分。

有n个元素的集合，有2个子集，有2 - 1个真子集。这个公式必须而且要会推导。比如一个集合有3个元素，那它有2 = 8个子集，有7个真子集。

集合的运算，就这三招

集合有三种运算：交集、并集、补集。学会这三招，集合运算题基本拿下。

交集：就是既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A ∩ B。用数学语言表示就是A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。你可以理解为两个集合重叠的部分。

并集：就是属于A或者属于B的元素组成的集合，记作A ∪ B。用数学语言表示就是A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。你可以理解为两个集合合并在一起。

补集：就是在全集S中不属于A的元素组成的集合，记作A。用数学语言表示就是A = {x ∈ S | x A}。补集就是全集里把A去掉剩下的部分。

这三种运算满足一些规律，比如德摩根定律：

- (A ∩ B) = (A) ∪ (B)

- (A ∪ B) = (A) ∩ (B)

这个定律考试中经常用到，你必须会推导。

高考集合题，就考这些

高考中集合题通常不难，但你要知道它考什么。

第一类题是集合的基本概念题。比如判断一个东西能不能组成集合，或者判断两个集合的关系。这类题只要记住集合的三个特性，就能轻松搞定。

第二类是集合的运算题。给你两个集合，让你求交集、并集、补集。这类题，画Venn图是最简单的方法。你把两个集合画成两个相交的圆，然后标出重叠部分，就是交集；两个圆覆盖的全部，就是并集；去掉一个圆剩下的部分，就是补集。一目了然。

第三类是集合的关系证明题。这类题稍难，通常需要用到集合的包含、相等定义，以及传递性。证明A B，你需要证明A的任意一个元素都在B里；证明A = B，你需要证明A B且B A。

第四类是新定义题。高考经常会给出一个新的运算或概念，让你根据定义做题。这类题不要慌，仔细读懂定义，按照定义操作就行。

集合这一章，概念多，但都不难。你只要把基本概念搞清楚，表示方法会运用，集合关系和运算掌握好，再做几道题练练手，考试绝对没问题。

集合是高中数学最简单的章节，没有之一。你连集合都搞不定，后面函数、方程、更难的知识怎么办？赶紧把今天的文章多看几遍，整理一下笔记，该背的背，该记的记。

高考数学140分，从搞定集合开始！