广义的等价无穷小代换——泰勒展开法计算极限

【作者：张教员,编号66377 更新时间：2014-07-14】  例题：x趋于0时的极限 lim (arctgx - x -x^3) / x^3=lim [x-x^3/3+O(x^3) - x -x^3] / x^3=-4/3

解析：
1用罗必塔法则也可以，但对于熟练掌握泰勒展开的人，直接把arctgx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7...带入即可。

2等价无穷小代换实质上是泰勒展开保留到一次项,之所以说分子上有加减法不可以等价无穷小代换，正在与忽略了高次项的误差，比如本题，把arctgx代换成x自然是错的，但展开足够项，泰勒展开就是原函数的无限逼近了，所以仍可以使用“广义的无穷小”代换，比如此题中，可以看出，到3次项的结果就是正确的，arctgx - x-x^3/3。（对这个题目，这种方法并不简单，但理解深度上有优势，在其他题目上也许有用）

3 arctgx的泰勒展开有一个比较容易的记忆方法（arctgx）' = 1/(1+x^2) = 1-x^2+x^4-x^6....(中学的无穷递缩等比数列)arctgx = x-x^3/3+x^5/5-x^7/7...这是个不错的记忆方法，作为严格证明是不合适的，1/(1+x^2) = 1-x^2+x^4-x^6....要求x在一定区间成立，超出收敛域就不行了。