初一数学方案选择类应用题全拆解：4道期中真题练会，多拿10分

方案选择题的底层逻辑

初一同学现在接触到的一元一次方程应用题里，方案选择是期中、期末考的高频考点，核心就是对比不同方案的“花费”或“利润”，找到最优选项。这类题不管怎么包装，本质都是三步走：先理清楚每个方案的所有成本/收益项，列出对应的表达式；再求出不同方案结果相等的临界值；最后结合实际限制条件分类讨论，确定最优方案。

今天咱们把近期北京各名校期中的4道经典真题一道一道拆透，把这部分的分全部拿到手。

商场促销题的易错点提醒

第一道是海淀期中的商场A、B商品促销题，两种方案：方案一是A打7折、B打85折；方案二是所有商品打8折。

第一问是买30件A、90件B，分别算两种方案的总花费就行。

很多同学容易把折扣乘错，打7折是乘0.7不是乘0.3，算下来方案一总花费是\( 30\times90\times0.7 + 90\times100\times0.85=9540 \)元，方案二是\( (30\times90 + 90\times100)\times0.8=9360 \)元，所以选方案二更划算，省180元。

第二问是买A商品\( x \)件，B商品是\( 2x+1 \)件，咱们先把两个方案的费用表达式列出来：

方案一总费用：\( C_1=90\times0.7x + 100\times0.85(2x+1)=233x + 85 \)

方案二总费用：\( C_2=[90x + 100(2x+1)]\times0.8=232x + 80 \)

代入边界值\( x=33 \)验证，两种方案的费用差值符合临界要求：当\( x\leq33 \)时，方案一费用更低；\( x>33 \)时，方案二更划算。这里很多同学会搞反临界点的取舍，记住直接代入边界值验证就好，不要靠感觉猜。

阶梯计价题的拆解方法

第二道是五中分校期中的游乐园购票题，核心是阶梯票价的方案选择。首先第一问，两班共103人，联合购票的话，103人属于50人以上的团体，每张4元，总费用是\( 103\times4=412 \)元，原来分开购票花了486元，所以能省\( 486-412=74 \)元。

这里很多同学会忽略团体票的单价是4元，误用4.5元计算，直接丢分，所以做这类题第一步先找对对应的单价。

第二问求两班人数，设甲班\( x \)人，乙班就是\( 103-x \)人。

因为甲班人数多于乙班，且在100以内，所以甲班人数超过50，票价是4.5元/人，乙班人数不足50，票价是5元/人，列方程：\( 4.5x +5(103-x)=486 \)，解得\( x=58 \)，所以甲班58人，乙班45人。

这里要注意题目给的“甲班人数多于乙班”的隐含条件，不要列错方程，同时要注意单价和人数区间的对应关系，不要搞反谁适用哪个单价。

会员类题的临界计算技巧

第三道是北京四中期中的练习本购买题，是生活中非常常见的会员卡优惠模型，很多同学会凭感觉觉得“有会员卡肯定划算”，其实不是，要看购买量够不够。

第一问买20本，方案一直接买：\( 20\times8=160 \)元；方案二办会员卡再买：\( 40 +20\times5=140 \)元，方案二更便宜。

第二问预算100元，看哪个方案买的本数多。方案一：\( 100\div8=12.5 \)，取整12本；方案二：先扣会员卡40元，剩下60元买本，\( 60\div5=12 \)本，两种方案买的数量一样。

这里很多同学会误以为办了会员卡就能买更多，其实如果购买量不够，会员卡的40元成本会拉高总花费，反而买不到更多。

第三问求至少买多少本会员卡才合算，就是让两个方案的总花费相等。设买\( x \)本，列方程：\( 8x=40+5x \)，解得\( x=\frac{40}{3}\approx13.33 \)。因为\( x \)必须是正整数，所以至少买14本的时候，方案二的总花费才会低于方案一，更划算。

这里要注意“至少超过多少本”的表述，临界值13.33不是整数，所以要进一取14，很多同学会直接写13本，忽略实际购买量必须是整数的问题。

利润类方案的避坑指南

第四道是北大附中期中的工厂排污方案选择，属于利润类的方案题，核心是不要漏算任何成本，不要混淆“营收”和“利润”。

第一问求利润\( y \)和产量\( x \)的关系，利润=总收入-所有支出。

方案一：每件产品利润是\( 50-25=25 \)元，每件产0.5立方米污水，处理每立方米2元，所以每件排污成本是\( 0.5\times2=1 \)元，加上每月设备损耗30000元，所以总利润\( y=25x -1x -30000=24x - 30000 \)。

方案二：每件利润还是25元，每件排污成本是\( 0.5\times14=7 \)元，没有设备损耗，所以总利润\( y=25x -7x=18x \)。

第二问月产量6000件，代入计算：方案一利润\( y=24\times6000 -30000=114000 \)元，方案二利润\( y=18\times6000=108000 \)元，所以方案一利润更高，而且方案一是自己处理污水，符合不污染环境的要求，所以选方案一。

这里很多同学会漏了方案一的30000元设备损耗，或者漏算每件产品的排污成本，把每件的利润直接乘数量，导致算错结果，一定要记得利润是减掉所有成本的。

通用解法总结

给大家方案选择类题的通用步骤：

1. 先梳理每个方案的所有成本/收益项，比如折扣、会员费、设备损耗、阶梯单价等，不要漏项；

2. 列出每个方案的总花费/利润的表达式，化简为关于\( x \)的一次式；

3. 令两个表达式相等，求出临界值，再结合实际条件的限制（比如\( x \)是正整数、人数区间、预算限制等）分类讨论，确定最优方案。

课后小练习

某快递公司有两种计费方式：方式一，寄件费10元，每公斤运费2元；方式二，无寄件费，每公斤运费3元。寄多重的快递时两种方式花费相同？超过这个重量选哪种更划算？欢迎把答案写在评论区~