初二上册数学知识点归纳(11)

【来源：易教网 更新时间：2026-10-02】

各位初二的同学、每天盯作业盯到血压高的家长先留步！最近是不是被平面直角坐标系和轴对称搞到头大？上周刚小测完，不少同学来留言说这两块丢的分加起来快有20分，选择题填空题错一堆，大题稍微绕一点就不会做。

今天把初二上册数学这两块必考内容的全部考点、易错点、答题技巧全给你们揉碎了讲，全是往年期中期末反复考的核心内容，记牢了至少多拿15分，甚至冲高分都有可能。

一、平面直角坐标系：搞懂这6个核心考点，选择题再也不丢分

刚学坐标系的时候不少同学觉得抽象，其实就是把平面上的点和数字对应起来，只要把基础概念记牢，规律摸清楚，这块其实是送分题。

1. 先搞懂最基础的定义

咱们先明确几个核心概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。水平的那个数轴叫x轴，也叫横轴，规定向右是正方向；铅直的那个叫y轴，也叫纵轴，向上是正方向，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共交点O就是原点，整个被坐标轴分成的平面就叫坐标平面。

这里有个常考的细节：坐标平面被x轴和y轴分成了四个部分，分别叫第一、第二、第三、第四象限，但坐标轴上的点不属于任何一个象限，不少同学刚学的时候会把x轴、y轴上的点归到象限里，考试的时候直接丢分，这点一定要注意。

咱们再提一句最开始的基础：在平面内确定一个物体的位置，一般需要两个数据，坐标系其实就是给这两个数据找了个明确的“家”，所有点都能对应到唯一的坐标上。

2. 点的坐标怎么确定？

对于平面内的任意一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的数a就是横坐标，在y轴上对应的数b就是纵坐标，有序数对\( (a,b) \)就是点P的坐标。

这里有两个必须记牢的规则：第一，坐标的顺序永远是横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，位置不能颠倒；第二，平面内的点和有序实数对是一一对应的，也就是说每一个点都有唯一的坐标对应，每一个坐标也对应平面内唯一的点。

只要\( a\neq b \)，\( (a,b) \)和\( (b,a) \)就是两个不同点的坐标，考试里经常考这个点，比如问\( (2,3) \)和\( (3,2) \)是不是同一个点，直接答不是就行。

3. 不同位置点的坐标规律，记牢口诀直接秒选

这块是选择题的高频考点，不用每次做题都推导，把规律记牢直接套就行。

首先是各象限内点的坐标特征：

- 第一象限的点：横坐标正，纵坐标正，也就是\( x>0,y>0 \)

- 第二象限的点：横坐标负，纵坐标正，也就是\( x<0,y>0 \)

- 第三象限的点：横坐标负，纵坐标负，也就是\( x<0,y<0 \)

- 第四象限的点：横坐标正，纵坐标负，也就是\( x>0,y<0 \)

可以记个口诀：“一正正，二负正，三负负，四正负”，背熟了看到点的坐标直接就能判断在哪个象限。

其次是坐标轴上的点的特征：

- 在x轴上的点：纵坐标永远是0，横坐标是任意实数，也就是\( y=0 \)

- 在y轴上的点：横坐标永远是0，纵坐标是任意实数，也就是\( x=0 \)

- 既在x轴又在y轴上的点，就是原点，坐标是\( (0,0) \)

然后是两条坐标轴夹角平分线上的点的特征：

- 在第一、三象限夹角平分线（也就是直线\( y=x \)）上的点，横坐标和纵坐标相等，比如\( (2,2) \)、\( (-3,-3) \)都在这条线上

- 在第二、四象限夹角平分线上的点，横坐标和纵坐标互为相反数，比如\( (2,-2) \)、\( (-3,3) \)都在这条线上

接下来是和坐标轴平行的直线上点的特征：

- 所有平行于x轴的直线上的点，纵坐标都相同

- 所有平行于y轴的直线上的点，横坐标都相同

这个规律作图的时候特别实用，比如知道一条直线平行于x轴，过点\( (3,5) \)，那这条直线上所有点的纵坐标都是5，不用算就能写出来。

再就是关于坐标轴对称的点的坐标规律，这块也是必考：

- 关于x轴对称的两个点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，点\( P(x,y) \)关于x轴的对称点是\( P'(x,-y) \)

- 关于y轴对称的两个点：纵坐标相等，横坐标互为相反数，点\( P(x,y) \)关于y轴的对称点是\( P''(-x,y) \)

- 关于原点对称的两个点：横、纵坐标都互为相反数，点\( P(x,y) \)关于原点的对称点是\( P'''(-x,-y) \)

可以记个口诀：“x轴对称，纵变号；y轴对称，横变号；原点对称，双双变号”，背熟了根本不会搞混。

是点到坐标轴和原点的距离：

- 点\( P(x,y) \)到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，也就是\( |y| \)

- 点\( P(x,y) \)到y轴的距离等于横坐标的绝对值，也就是\( |x| \)

- 点\( P(x,y) \)到原点的距离是\( \sqrt{x^2+y^2} \)，这个公式考试的时候如果忘了推导，直接记结果也行，都是常考的。

4. 坐标变化和图形变化的规律

这块经常结合图形变换考，只要把对应关系记牢，根本不用画图就能选出答案：

- 横坐标乘\( a \)或者纵坐标乘\( a \)：图形被横向或者纵向拉长（压缩）为原来的\( a \)倍

- 横坐标和纵坐标都乘\( a \)：图形放大（缩小）为原来的\( a \)倍

- 横坐标乘\( -1 \)或者纵坐标乘\( -1 \)：图形关于y轴或者x轴对称

- 横坐标和纵坐标都乘\( -1 \)：图形关于原点成中心对称

- 横坐标加\( a \)或者纵坐标加\( a \)：图形沿x轴或者y轴平移\( a \)个单位

- 横坐标加\( a \)，纵坐标也加\( a \)：图形先沿x轴平移\( a \)个单位，再沿y轴平移\( a \)个单位

很多同学刚学的时候容易搞混平移和对称的坐标变化，多练两道题就能记住了，这块的题都是固定规律，送分题。

二、轴对称全梳理：从概念到答题技巧一网打尽

轴对称这块内容概念多，性质也多，但只要把每个概念的定义和对应的性质、判定搞清楚，做题的时候根本不会慌。

1. 先把基础概念搞明白

首先是最核心的三个基础概念：

第一个是轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

第二个是两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

这两个概念的区别是：轴对称图形是一个图形自身的对称，两个图形成轴对称是两个图形之间的对称，不要搞混。

第三个是线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，它有两个核心性质：一是垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；二是到线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上，这两个性质经常用来证明线段相等，特别好用。

还有两个特殊的三角形概念：等腰三角形是两条边相等的三角形，相等的两条边叫腰，另一条叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角；三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

2. 轴对称的核心性质，记牢了做题不用愁

首先是关于对称的核心性质：不管是轴对称图形还是两个图形成轴对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，而且对称的两个图形是全等的，对应边相等，对应角相等。

然后是等腰三角形的性质，这块是必考点：

- 等腰三角形两腰相等，两底角相等（等边对等角）

- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，也就是我们常说的“三线合一”

- 等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，就是三线合一的那条线

这里要提醒一句：三线合一的用法是“知二推一”，也就是知道其中两条线重合，就能推出第三条也重合，考试里经常考这个点。

接下来是等边三角形的性质：

- 等边三角形三边都相等，三个内角都相等，都是60°

- 等边三角形每条边上的三线都重合，是轴对称图形，有3条对称轴

等边三角形可以看成是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的所有性质它都满足。

3. 判定方法要记牢，证明题直接套

首先是等腰三角形的判定：除了“有两条边相等的三角形是等腰三角形”这个定义判定之外，还有一个常用的判定：“等角对等边”，也就是如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个判定经常用在证明题里，看到两个角相等直接推边相等，省好多步骤。

然后是等边三角形的判定，有三个常用的：

- 三条边都相等的三角形是等边三角形

- 三个角都相等的三角形是等边三角形

- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

一个判定考的频率特别高，很多时候题目里不会直接说这是等边三角形，只会说这是等腰三角形，且顶角是60°，直接就能判定是等边三角形，用上之后所有等边三角形的性质都能用，做题特别顺。

4. 基本作图方法，考试大题直接拿满分

轴对称的作图题也是必考的，只要掌握方法，根本不会丢分：

- 做已知直线的垂线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线移动三角板，让另一条直角边过已知点，沿这条直角边画直线就是垂线

- 做已知线段的垂直平分线：先分别以线段的两个端点为圆心，大于线段长度一半的长度为半径画弧，两个弧会交于两点，连接这两点画的直线就是线段的垂直平分线

- 作对称轴：如果是一对对应点，连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线就是对称轴；如果是多个对应点，连接任意两组对应点，分别作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是对称轴的位置

- 作已知图形关于某直线的对称图形：先作出图形上几个关键点关于这条直线的对称点，再把对称点按原来的顺序连接起来，就是对称后的图形，这个方法比直接画整个图形快很多，还不会错

- 还有一类最短路径题：在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短，做法是作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点和另一个点，和直线的交点就是所求的点，这个模型特别高频，记牢了直接套就行。

今天讲的所有内容都是初二上册数学的重中之重，不管是期中期末考还是以后的中考，都会反复考察，尤其是坐标规律和轴对称的判定、作图，几乎是必考大题。大家把今天讲的知识点整理到笔记本上，多找几道对应题型练一练，这块基本就能拿满分。

如果还有哪里没看懂，或者有不懂的题，都可以在评论区留言，看到就会给大家解答，加油，期末数学冲高分！