初中生家长必看：圆这一章，孩子总卡壳的5个真实痛点

【来源：易教网 更新时间：2025-10-05】

你问他：“圆心是什么？”他能一字不差背出“平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形”。可你一画个圆，问：“哪个点是圆心？”他盯着图发愣，手里的笔转了三圈，还是不敢下笔。

这不是孩子笨。是教学太抽象，没把“圆”变成他能摸得着、画得出、用得上的东西。

我们来拆一拆，孩子在圆这一章真正卡在哪。

第一痛：分不清“直径”和“半径”在图里长啥样

课本说：“直径是通过圆心，两端在圆上的线段。”

孩子一听，点头。可你让他在一张纸上随便画个圈，标出一条直径，他画的线段要么没过圆心，要么一端在圆外。

为什么？

因为他没建立“圆心是中心”的空间直觉。

别讲定义了。直接让他做一件事：

拿一枚硬币，用铅笔在纸上描出轮廓。

再拿一根细绳，一端固定在圆心位置，另一端绕着边缘转一圈——绳子长度就是半径。

然后把绳子拉直，两端对准圆上两点，穿过中心——这就是直径。

你问他：“直径是半径的几倍？”

他答：“两倍。”

你再问：“那我画一条线，两端在圆上，长度是半径的两倍，它一定是直径吗？”

他犹豫了。

这时候，你画一条不过圆心、两端在圆上、长度等于2r的线段——他立刻明白了：不是所有两端在圆上、长度是2r的线都是直径，必须过圆心。

概念不是背出来的，是画出来的。

第二痛：垂径定理像天书，一画图就乱

“垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。”

孩子背得滚瓜烂熟，可一做题：

> 已知⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求半径。

他直接懵了。

问题在哪？

他不知道OC是“弦心距”，也不知道OC连接的是圆心和弦的中点。

别急着讲定理。先让他动手：

拿一张纸，画个圆，随便画一条弦AB。

用尺子找AB的中点C，用三角板过C点画一条垂直AB的线，延长到圆上，得到两点D、E。

现在，他看到：DE穿过圆心，而且C是AB的中点。

再量一量：AD和BD的弧长一样吗？

他用铅笔沿着弧描一遍，发现确实对称。

这时候你才说：“这条垂直弦的线，一定过圆心——这就是垂径定理。”

不是定理难，是孩子没亲眼见过“垂直”和“平分”在圆里怎么配合。

第三痛：圆周角和圆心角，总搞混谁是谁的一半

“直径所对的圆周角是直角。”

孩子记住了，可一遇到题：

> 点A、B、C在圆上，AB是直径，∠ACB是多少度？

他答：“90°。”

你再问：“如果∠ACB=90°，那AB一定是直径吗？”

他就不敢答了。

这说明，他记的是“结论”，不是“逻辑”。

让他画三个图：

1. 画一个圆，标出直径AB，任取圆上一点C（不是A、B），连AC、BC，用量角器测∠ACB。

2. 再画一个圆，随便画一条弦AB，找一个点C，让∠ACB=90°，然后延长AC、BC，看它们是否经过圆心。

3. 最后，画一条不是直径的弦AB，再找一个点C，让∠ACB=85°，看看C点是不是还在圆上。

三次实验，他就会明白：

只有当AB是直径时，圆上任意一点C形成的∠ACB才是90°；反过来，只要∠ACB是90°，那AB必须是直径。

这不是推理，是观察。

第四痛：三点确定一个圆，孩子以为“随便三点都能画圆”

老师说：“不在同一直线上的三点确定一个圆。”

孩子点头，可你让他用尺规作图，找三个点的外接圆，他画的圆要么太大，要么偏了，要么根本过不了第三个点。

原因：他不知道“圆心是三边中垂线的交点”。

让他做：

在纸上任意标三个点A、B、C，不共线。

用尺子连AB、BC、CA。

分别作AB和BC的垂直平分线——用圆规画弧，找中点，再垂直画线。

两条线一交，交点就是圆心。

再以这个点为圆心，到A的距离为半径画圆——你会发现，C点刚好落在圆上。

他第一次亲眼看到：不是你画圆让点在上面，是点的位置决定了圆的大小和位置。

这个过程，比背十遍公式都管用。

第五痛：圆和圆的位置关系，靠死记硬背

外离、外切、相交、内切、内含——五个词，孩子背得飞快，可一给图，他分不清是“内切”还是“内含”。

为什么？

因为他没数过“公共点”。

让他做：

拿两个硬币，一个大一个小。

先让它们完全分开，不碰——这是外离。

慢慢推近，直到刚好碰到——一个点，外切。

继续推，它们重叠一部分——两个交点，相交。

再把小圆往大圆里推，直到小圆边缘和大圆内壁刚好碰上——一个点，内切。

小圆完全在大圆里面，不碰边——内含。

他一边动手，一边说：“哦，原来‘切’就是只碰一个点，‘含’就是小的在大的肚子里。”

不用记定义，他用自己的手，记住了五种关系。

想说：圆不是公式堆出来的，是画出来的

孩子不是讨厌数学，是讨厌“看不见的数学”。

圆，是几何里最直观的图形，却成了最抽象的噩梦。

家长能做的，不是催他背公式，而是陪他：

- 用硬币画圆

- 用绳子量半径

- 用尺规找圆心

- 用量角器测角度

- 用两个杯子演示内切外离

这些动作，比刷十套卷子都管用。

真正的理解，不是孩子答对了题，而是他能指着图说：“你看，这条线过圆心，所以它平分了那条弦。”

不是“我知道”，而是“我看见了”。

当你不再问他“圆的定义是什么”，而是问他“你刚才画的那条线，是不是直径？”

那一刻，他才真正进入了数学的世界。