如何用“和一定，差小积大“解决面积最值问题？小学生也能轻松掌握的数学思维！

一、从生活场景理解数学原理

你是否遇到过这样的问题：用固定长度的围栏围出最大面积的场地？或者用有限的材料设计最优的容器？这些问题看似复杂，但只需掌握一个简单原理——“和一定，差小积大”，就能轻松解决。

这句话的意思是：当两个数的和固定时，它们的差距越小，乘积越大；差距越大，乘积越小。比如：

- 3 + 7 = 10，乘积是21；

- 5 + 5 = 10，乘积是25。

显然，相等时的乘积更大。这一原理在几何、代数甚至经济学中都有广泛应用。下面通过具体例题，手把手教你如何灵活运用！

二、基础应用：无约束条件的面积问题

例题1：用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，面积最大是多少？

分析：

- 周长固定为60米，因此长+宽=30米（即a + b = 30）。

- 根据“差小积大”，当a = b = 15米时，面积最大：15 × 15 = 225平方米。

关键点：当问题仅涉及周长与面积时，最优解一定是正方形！

三、进阶场景：借助墙体或特殊结构

1. 借助一个墙角（两面墙）

例题2：用60米铁板围成长方形鸡窝，借助一个墙角，最大面积是多少？

分析：

- 墙角天然提供两条边，因此只需围另外两边（即a + b = 60）。

- 当a = b = 30米时，面积最大：30 × 30 = 900平方米。

思考：为什么面积比例题1大？因为节省了两条边的材料！

2. 借助一面墙

例题3：用60米铁板围成长方形鸡窝，借助一面墙，最大面积是多少？

分析：

- 墙面替代一条长边，因此周长为“长 + 2×宽 = 60”（即a + 2b = 60）。

- 将问题转化为“a与2b的和固定”，当a = 2b = 30米时，乘积最大：

- a = 30米，b = 15米，面积= 30 × 15 = 450平方米。

易错点：学生常直接套用“a + b = 30”，忽略墙面带来的结构变化！

四、复杂结构：多区域并列问题

1. 两个并列鸡窝

例题4：用60米铁板围成两个并列鸡窝，借助一面墙，每个鸡窝的最大面积是多少？

分析：

- 结构需满足“2条长边 + 3条短边 = 60”（即2a + 3b = 60）。

- 转化为“2a与3b的和固定”，当2a = 3b = 30米时，乘积最大：

- a = 15米，b = 10米，每个鸡窝面积= 15 × 10 = 150平方米。

2. 五个并列鸡窝

例题5：用60米铁板围成五个并列鸡窝，借助一面墙，每个鸡窝的最大面积是多少？

分析：

- 结构需满足“5条长边 + 6条短边 = 60”（即5a + 6b = 60）。

- 当5a = 6b = 30米时，乘积最大：

- a = 6米，b = 5米，每个鸡窝面积= 6 × 5 = 30平方米。

规律总结：并列结构越多，单个区域的面积越小，但总利用率可能更高！

五、原理拓展：为什么“差小积大”成立？

我们可以用代数验证这一原理：

设两数之和为C，即a + b = C，则乘积P = a × b = a × (C – a) = –a + C·a。

这是一个开口向下的抛物线，最大值出现在顶点（a = C/2）。此时a = b = C/2，验证了“差小积大”的正确性。

六、常见错误与避坑指南

1. 忽略结构约束：如例题3中误将“a + 2b = 60”简化为“a + b = 30”。

2. 错误分配变量：例题4中若未将“2a + 3b”整体视为“和一定”，会导致计算错误。

3. 忘记单位换算：实际问题中需注意单位是否统一（如米、厘米）。

七、实战演练：测测你掌握了吗？

1. 用40米篱笆围一个靠墙的长方形花园，最大面积是多少？

2. 用100米铁板围成三个并列仓库（靠墙），每个仓库的最大面积是多少？

答案揭晓：

1. 长20米，宽10米，面积200平方米；

2. 长20米，宽约8.33米，每个面积约166.67平方米。