三角形中位线定理及其逆定理

【来源：易教网 更新时间：2025-05-07】

三角形中位线定理是几何学中的一个重要定理，它揭示了三角形中位线与第三边之间的关系。具体而言，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。本文将详细探讨这一定理及其逆定理，帮助读者更好地理解和应用这些几何知识。

三角形中位线定理

定义：三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段。根据三角形中位线定理，这条线段不仅平行于第三边，而且长度等于第三边的一半。

证明：

假设有一个三角形 \( \triangle ABC \)，其中 \( D \) 和 \( E \) 分别是 \( AB \) 和 \( AC \) 的中点。我们需要证明 \( DE \) 平行于 \( BC \) 且等于 \( BC \) 的一半。

1. 构造辅助线：

- 过点 \( C \) 作 \( AB \) 的平行线，交 \( DE \) 的延长线于点 \( G \)。

2. 角度关系：

- 因为 \( CG \parallel AD \)，所以 \( \angle A = \angle ACG \)。

3. 相似三角形：

- 在 \( \triangle ADE \) 和 \( \triangle CGE \) 中，我们有：

- \( \angle AED = \angle CEG \)（对顶角相等）

- \( AE = CE \)（因为 \( E \) 是 \( AC \) 的中点）

- \( \angle A = \angle ACG \)（已证）

4. 全等三角形：

- 根据角边角（A.S.A）定理，可以得出 \( \triangle ADE \cong \triangle CGE \)。

- 因此，\( AD = CG \)（全等三角形对应边相等）。

5. 中点性质：

- 因为 \( D \) 是 \( AB \) 的中点，所以 \( AD = BD \)。

- 由此可得 \( BD = CG \)。

6. 平行四边形：

- 因为 \( BD \parallel CG \) 且 \( BD = CG \)，所以 \( BCGD \) 是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

- 因此，\( DG \parallel BC \) 且 \( DG = BC \)。

7. 结论：

- 因为 \( DE \) 是 \( DG \) 的一半，所以 \( DE = \frac{DG}{2} = \frac{BC}{2} \)。

- 从而证明了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

逆定理一

定义：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

证明：

假设在 \( \triangle ABC \) 中，线段 \( DE \) 与 \( AB \) 和 \( AC \) 相交，且 \( DE \parallel BC \) 且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

我们需要证明 \( D \) 和 \( E \) 分别是 \( AB \) 和 \( AC \) 的中点。

1. 相似三角形：

- 因为 \( DE \parallel BC \)，所以 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)（两角相等的三角形相似）。

- 因此，有 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} \)。

2. 中点性质：

- 由上述比例关系可知，\( AD = \frac{AB}{2} \) 且 \( AE = \frac{AC}{2} \)。

- 这意味着 \( D \) 是 \( AB \) 的中点，\( E \) 是 \( AC \) 的中点。

3. 结论：

- 因此，线段 \( DE \) 是 \( \triangle ABC \) 的中位线。

逆定理二

定义：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

证明：

假设在 \( \triangle ABC \) 中，线段 \( DE \) 经过 \( AB \) 的中点 \( D \)，且 \( DE \parallel BC \)。我们需要证明 \( E \) 是 \( AC \) 的中点，且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

1. 构造辅助线：

- 取 \( AC \) 的中点 \( E' \)，连接 \( DE' \)。

2. 中点性质：

- 因为 \( D \) 是 \( AB \) 的中点，所以 \( AD = BD \)。

- 因为 \( E' \) 是 \( AC \) 的中点，所以 \( AE' = CE' \)。

3. 中位线性质：

- 由中位线定理可知，\( DE' \) 是 \( \triangle ABC \) 的中位线。

- 因此，\( DE' \parallel BC \) 且 \( DE' = \frac{BC}{2} \)。

4. 平行线性质：

- 因为 \( DE \parallel BC \) 且 \( DE' \parallel BC \)，所以 \( DE \) 和 \( DE' \) 都平行于 \( BC \)。

5. 唯一性：

- 通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。因此，\( DE \) 和 \( DE' \) 必须重合。

6. 结论：

- 因此，\( E \) 是 \( AC \) 的中点，且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

- 从而证明了逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意事项

在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。这是因为只有当这条线段同时平行于第三边时，才能确定它是中位线。如果这条线段不平行于第三边，即使它等于第三边的一半，也不能称为中位线。

三角形中位线定理及其逆定理是几何学中的重要知识点，它们不仅有助于解决各种几何问题，还能加深我们对几何图形性质的理解。通过本文的详细证明和解释，相信读者已经对这些定理有了更深入的认识。在实际应用中，这些定理可以帮助我们更高效地分析和解决复杂的几何问题，提升数学解题能力。

希望本文能为读者提供有益的帮助，激发大家对几何学的兴趣和热情。