奥数探秘之费马小定理

假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1(mod p)

费马小定理的历史

皮埃尔•德•费马于16发现了这个定理，在一封1610月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。

与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。

假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立(这是费马小定理的一个特殊情况)是对的。但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的(比如341符合上述条件但不是一个质数)。因此整个来说这个猜想是错误的。

一般认为中国数学家在费马前的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是18提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

费马小定理的证明

一、准备知识：

引理1.剩余系定理2

若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm)

证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2.剩余系定理5

若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系(0,1,2,…m-1)，所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1

引理3.剩余系定理7

设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。

证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4(完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明)可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。

由引理5 可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。

引理4.同余定理6

如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)

证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m)

二、证明过程：

构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。

令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得 a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。

易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp)

费马小定理在数论中的地位

费马小定理是数论四大定理(威尔逊定理，欧拉定理(数论中的欧拉定理，即欧拉函数)，中国剩余定理和费马小定理)之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况(见于词条“欧拉函数”)。

费马小定理的实际应用

如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。

对于中国猜测稍作改动，即得到判断一个数是否为质数的一个方法：

如果对于任意满足1 < b < p的b下式都成立：

b^(p-1)≡1(mod p)

则p必定是一个质数。

实际上，没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。

这个算法的缺点是它非常慢，运算率高;但是它很适合在计算机上面运行程序进行验算一个数是否是质数。