系统讲解之利率与利息问题

利率与利息：生活中的数学智慧

[专题介绍]

在我们的日常生活中，无论是个人理财还是企业经营，都离不开对“利率”和“利息”的理解。国家规定，各种收入必须按照国家一定的比例向国家缴纳一定的税款，应纳税额与收入的百分比叫做税率。而当我们谈到银行存款或借贷时，则会涉及另一个重要的概念——利率。

我们把存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付出来的钱叫做利息。总利息与本金的百分比叫做利率。这两个概念看似简单，却在我们的经济活动中扮演着至关重要的角色。接下来，我们将通过几个经典例题来深入浅出地解析这些概念，帮助大家更好地理解利率与利息之间的关系。

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[经典例题]

例1、某个体商人以年利息14%的利率借给别人4500元，第一年末偿还2130元，第二年以某种货物80件偿还一部分，第三年还2736元结清，他第二年末还债的货物每件价值多少元？

解题步骤：

首先，我们要明确计算利息的基本公式：总利息 = 本金 × 利率 × 时间。

第一步：计算第一年末的本利和。

第一年末的本利和 = 4500 + 4500 × 14% × 1 = 5130（元）

第二步：确定第二年起计息的本金。

第二年起计息的本金 = 5130 - 2130 = 3000（元）

第三步：计算第二年末的本利和。

第二年末的本利和 = 3000 + 3000 × 14% × 1 = 3420（元）

第四步：确定第三年初的本金。

第三年的本利和为2736元，

第三年初的本金 = 2736 ÷ (1 + 14%) = 2736 ÷ 1.14 = 2400（元）

第五步：计算第二年末已还款的金额。

第二年末已还款的金额 = 3420 - 2400 = 1020（元）

第六步：计算每件货物的单价。

每件货物的单价 = 1020 ÷ 80 = 12.75（元）

答案：他第二年末还债的货物每件价值12.75元。

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例2、小明于今年七月一日在银行存了活期储蓄1000元，如果年利率是1.98%，到明年七月一日，小明可以得到多少利息？（A级）

解题步骤：

1. 根据题目信息，我们可以使用简单的利息计算公式进行计算。

2. 计算公式为：利息 = 本金 × 年利率 × 存款时间。

3. 注意：这里的年利率需要扣除所得税。

计算过程：

\[ \text{利息} = 1000 \times 1.98\% \times 1 \times (1 - 20\%) = 15.84（元） \]

答案：小明可以得到15.84元利息。

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例3、买了8000元的国家建设债券，定期，到期他取回本息一共10284元，这种建设债券的年利率是多少？（B级）

解题步骤：

这个问题有两种解法，一种是基于单利的计算方法，另一种则是基于复利的计算方法。我们分别来看一下这两种解法。

单利解法：

1. 设年利率为x%。

2. 使用单利计算公式：\[ \text{本息和} = \text{本金} + \text{本金} \times \text{年利率} \times \text{时间} \]。

3. 假设时间是3年，那么有：\[ 8000 + 8000 \times x\% \times 3 = 10284 \]。

解这个方程，可以得到：\[ x\% = 9.52\% \]。

复利解法：

1. 使用复利计算公式：\[ \text{本息和} = \text{本金} \times (1 + \text{年利率})^\text{时间} \]。

2. 假设时间依然是3年，那么有：\[ 8000(1 + x\%)^3 = 10284 \]。

解这个方程，同样可以得到：\[ x\% = 9.52\% \]。

答案：这种建设债券的年利率是9.52%。

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通过以上三个例子，我们可以看到利率与利息在日常生活中的应用非常广泛。无论是计算贷款的利息，还是规划自己的储蓄计划，了解这些基本的概念都是非常有帮助的。希望这些例子能够帮助大家更好地掌握利率与利息的相关知识。