中考数学几何复习要点——角平分线的性质与应用

角平分线的性质与应用是中考数学几何部分的一个重要知识点，它不仅在几何题目中有着广泛的应用，也是解决三角形全等相关题型的重要工具。本文将详细介绍角平分线的定义、性质和判定，并通过实例分析，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、角平分线的定义

角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。用数学语言表示，如果一条射线OC从角AOB的顶点O出发，使得∠AOC = ∠BOC，那么这条射线OC就是角AOB的平分线。

二、角平分线的性质

角平分线的一个重要性质是：角平分线上的点到角的两边的距离相等。这一性质是解决几何问题的关键，它提供了一种在角平分线上寻找等距离点的方法。

例如，考虑一个角AOB，其平分线为OC。如果点P在角AOB的内部，并且点P到OA的距离等于点P到OB的距离，那么根据角平分线的性质，我们可以得出结论：点P在角AOB的平分线上。

三、角平分线的判定

角平分线的判定是角平分线性质的逆向应用。如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。

例如，考虑一个角AOB，如果点P在角AOB的内部，并且点P到OA的距离等于点P到OB的距离，那么根据角平分线的判定，我们可以得出结论：点P在角AOB的平分线上。

四、角平分线在三角形全等中的应用

角平分线不仅在几何问题中有着广泛的应用，也是解决三角形全等相关题型的重要工具。在三角形中，如果一条边是某个角的平分线，那么这条边与三角形的两边之间的关系可以用来证明三角形全等。

例如，考虑三角形ABC，如果AC是∠BAC的平分线，并且AB = AC，那么根据角平分线的性质，我们可以得出结论：∠BAC = ∠ACB。如果再满足∠ABC = ∠ACB，那么根据三角形全等的判定定理，我们可以证明三角形ABC是等腰三角形。

五、角平分线与三角形的中位线、高、中心的关系

除了角平分线，三角形的中位线、高、中心也是解决三角形题目有效的途径。这些概念在几何问题中相互关联，常常需要综合运用。

例如，在三角形ABC中，如果AC是∠BAC的平分线，并且点D是线段AC的中点，那么根据三角形中位线的性质，我们可以得出结论：线段BD是∠ABC的平分线。这样的结论对于解决三角形全等或相似的问题非常有帮助。

六、实例分析

为了更好地理解角平分线的性质和应用，我们来看一个具体的例子。

问题：在三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D是BC的中点。证明：线段AD是∠BAC的平分线。

证明：

因为AB = AC，所以∠BAC是直角。

又因为D是BC的中点，所以DC = DB。

根据三角形的中位线定理，线段AD平行于BC，且等于BC的一半。

因此，线段AD是∠BAC的平分线。

七、总结

角平分线的性质和判定是解决几何问题的重要工具，它们不仅在三角形全等和相似的问题中有广泛应用，也是证明其他几何性质的基础。通过理解角平分线的定义和性质，学生可以更好地掌握几何问题的解题技巧，提高数学成绩。