高中数学不是靠死记硬背拿分的科目，但有些内容，你必须熟到脱口而出。不是为了应付考试，而是为了在解题时省下时间，把脑力留给真正的思考。以下这些内容，是真正值得你背下来的。

1. 函数与导数：基础中的基础

函数的定义域，不是靠猜。分母不能为零，根号内要≥0，对数真数必须>0，这些是铁律。你得一眼看出：

- \( y = \frac{1}{x-2} \) 的定义域是 \( x \neq 2 \)

- \( y = \sqrt{4 - x^2} \) 的定义域是 \( -2 \leq x \leq 2 \)

基本初等函数的图像和性质，必须闭眼能画。

指数函数 \( y = a^x \)：当 \( a > 1 \) 时递增，\( 0 < a < 1 \) 时递减，恒过点 (0,1)。

对数函数 \( y = \log_a x \)：与指数函数互为反函数，定义域 \( x > 0 \)，过点 (1,0)。

三角函数：正弦、余弦的周期是 \( 2\pi \)，正切是 \( \pi \)。记住 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)，这是万能钥匙。

导数公式，背熟这6个：

- \( (x^n)' = nx^{n-1} \)

- \( (\sin x)' = \cos x \)

- \( (\cos x)' = -\sin x \)

- \( (e^x)' = e^x \)

- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)

- \( (a^x)' = a^x \ln a \)

导数的应用，就三件事：求切线、找极值、判断单调。

切线方程：\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)

极值点：先令导数为0，再看符号变化。别忘了检查定义域端点。

2. 数列：公式就是命根子

等差数列：

通项：\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

前n项和：\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) 或 \( S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \)

等比数列：

通项：\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

前n项和：\( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \)（\( q \neq 1 \)）

数学归纳法，别怕。两步走：

第一步，验证 \( n=1 \) 成立。

第二步，假设 \( n=k \) 成立，证 \( n=k+1 \) 也成立。

别写“显然”，要写清楚每一步推导。

3. 不等式：别被形式吓住

一元二次不等式，先看判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。

若 \( \Delta > 0 \)，两根之间或之外；

若 \( \Delta = 0 \)，解集是除根外全体实数或空集；

若 \( \Delta < 0 \)，看开口方向，恒大于0或恒小于0。

绝对值不等式：

\( |x| < a \Rightarrow -a < x < a \)（\( a > 0 \)） \( |x| > a \Rightarrow x < -a \) 或 \( x > a \)

线性规划，画图是关键。

目标函数 \( z = ax + by \)，平移直线找最值点。

最值一定在可行域的顶点上，别在中间瞎猜。

4. 解析几何：公式+图像，缺一不可

直线方程：

点斜式：\( y - y_0 = k(x - x_0) \)

一般式：\( Ax + By + C = 0 \)

圆的标准方程：\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)

圆心 \( (a,b) \)，半径 \( r \)

椭圆：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，焦点在x轴，\( c^2 = a^2 - b^2 \)

双曲线：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，\( c^2 = a^2 + b^2 \)

抛物线：\( y^2 = 2px \)，焦点 \( (\frac{p}{2}, 0) \)

空间向量：

点积：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \)

模长：\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \)

立体几何体积：

棱柱：\( V = S_{底} \cdot h \)

棱锥：\( V = \frac{1}{3} S_{底} \cdot h \)

球：\( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)，表面积 \( S = 4\pi R^2 \)

5. 概率与统计：别被术语绕晕

概率基本公式：

互斥事件：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

独立事件：\( P(AB) = P(A)P(B) \)

条件概率：\( P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \)

离散型随机变量：分布列要列全，概率和必须为1。

期望：\( E(X) = \sum x_i p_i \)

方差：\( D(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i \)

样本均值：\( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \)

样本方差：\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \)

6. 复数与向量：运算规则要清晰

复数 \( z = a + bi \)，模 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

乘法：\( (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

除法：分子分母同乘共轭

向量加减：坐标对应加减

点积：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)

夹角余弦：\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)

7. 集合与逻辑：语言要准

集合运算：

交集：\( A \cap B \) —— 同时属于A和B

并集：\( A \cup B \) —— 属于A或B

补集：\( \complement_U A \) —— 全集U中不属于A的部分

命题：

原命题：若p，则q

逆命题：若q，则p

否命题：若非p，则非q

逆否命题：若非q，则非p

原命题与逆否命题等价，这是唯一能直接互推的。

8. 算法与推理：流程图不是装饰

算法步骤要清晰：输入 → 处理 → 输出

流程图：菱形是判断，矩形是执行，箭头是流向

推理：直接证法从已知推结论；反证法假设结论不成立，推出矛盾。

9. 最后一课：别背题，背思路

不要背“这道题怎么解”，要背“这类题怎么想”。

遇到函数题，先看定义域，再看单调性，再看导数。

遇到数列题，先判断类型，再套公式，再验证。

遇到几何题，先画图，标条件，再找关系。

你背的不是答案，是解题的启动键。

每天花15分钟，默写一次公式、画一次图像、写一遍步骤。

三个月后，你看到题，手会先动，脑子才跟上。

这不是捷径，是效率。

你省下的每一分时间，都是用来思考难题的资本。