初三数学知识点总结(10)

【来源：易教网 更新时间：2026-07-03】

一、二次函数概念：

a0）b，c是常数

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，数．

2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

⑵a，二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上00，00，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．

2.yax2c的性质：上加下减。

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上c0，c0，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．

3.yaxh的性质：左加右减。

2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上0h，0h，性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a02向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．

4.yaxhk的性质：

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kh，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a

起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同2a右异”总结：

3.常数项c

⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2.关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3.关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的`解析式是yaxhk．n对称

5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

a2

②当0时，图象与x轴只有一个交点；

③当0时，图象与x轴没有交点.

1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0抛物线与x轴有两个交点0二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负二次三项式的值恒为正一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程无实数根.0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函数图像参考：

y=3x2y=3(x-2)2y=x22

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2