行程问题的解法---比例法

行程问题的解法——比例法

在小学数学的学习过程中，“行程问题”往往成为学生们的“心头大患”。究其原因，不外乎以下几个方面：

一、行程问题的分类繁多，变化莫测。与工程问题相比，后者通常只需要抓住工作效率和比例关系这两个关键点即可解决大部分问题，而行程问题却似乎没有这样的“万能钥匙”。这是因为行程问题涉及多种类型，每种类型的关键点各不相同，这就要求学生们必须具备灵活运用各种方法的能力。

二、需要对动态过程进行演绎和推理。行程问题的题目描述通常冗长且复杂，描述的还是一个动态变化的过程。如何从这些复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系，对于很多学生来说是一项不小的挑战。

三、行程问题是一个包容性强的“外壳”，可以融入各种不同的知识点。很多时候，题目表面上看起来是行程问题，但实际上却是在考验学生对其他知识点的理解和应用能力。

鉴于行程问题的复杂性，学习时应当采取逐步深入的方法，逐步掌握不同类型的行程问题的解题技巧。接下来，我们将通过几个具体的例子来介绍如何运用比例法来解决这类问题。

例一：客车与货车的相遇

假设客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反方向行驶，3小时后，客车到达甲城，而货车离乙城还有30千米。已知货车的速度是客车速度的3/4，试问甲、乙两城相距多少千米？

【解析】

首先，根据题目信息可知，客车速度与货车速度之比为4:3。这意味着，在相同时间内，两者的行驶距离比也是4:3。换句话说，客车比货车多行了1份的距离，即30千米。由此可以推断出，客车总共行驶了30×4=120千米。既然客车是从两城中点出发到达甲城，那么甲、乙两城间的总距离就是120×2=240千米。

例2：小明的上学之路

小明平时步行上学。一天，由于晚出发10分钟，他决定跑完一半的路程，另一半则继续步行，结果与平时到达学校的时间相同。已知小明跑步的速度是步行速度的3倍，那么请问小明平时步行上学需要多少分钟？

【解析】

根据题意，小明跑步的速度是步行速度的3倍。我们可以假设平时小明步行全程所需时间为\(T\)分钟。那么，当小明跑步走了一半路程时，这一半路程的时间只需\(\frac{T}{3}\)分钟，而另一半路程继续步行也需要\(\frac{T}{3}\)分钟。

因此，跑步与步行的总时间是\(\frac{2T}{3}\)分钟。题目指出，这种情况下小明到达学校的时间与平时相同，也就是说节省了\(T-\frac{2T}{3}=\frac{T}{3}\)分钟，即10分钟。由此可以得出，\(\frac{T}{3}=10\)分钟，进而得到\(T=30\)分钟。

这意味着小明平时步行上学需要30分钟。

例3：甲、乙两车的相遇

假设甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距离A、B两地中心处8千米。已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，请计算A、B两地之间的距离。

【解析】

甲车的速度是乙车的1.2倍，这意味着甲车与乙车行驶距离的比为6:5。设甲车行驶了6份的距离，乙车行驶了5份的距离。甲车比乙车多行驶了1份的距离，而这1份的距离正好是两车与中心点距离之差的两倍，即2×8=16千米。因此，从A到B的总距离为11份的距离，即11×16=176千米。

例4：小明与爸爸的追逐游戏

上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追赶小明。在离家4千米的地方追上了小明，随后爸爸立刻回家。到家后，他又立刻回头去追小明，并在离家8千米的地方再次追上了小明。请问，这时是几点几分？

【解析】

从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明这段时间内，小明走了4千米，而爸爸走了12千米（包括返回家中再出来追赶的距离）。由此可以看出，爸爸的速度是小明速度的3倍。我们知道，爸爸走4千米的时间是小明走相同距离所需时间的三分之一，比小明少了8分钟。因此，小明走4千米需要12分钟，走8千米需要24分钟。

由此可以推断出，第二次追上小明的时候是8时32分。这里的关键在于识别出爸爸与小明的速度比。

通过上述例子可以看出，比例法是一种非常实用的方法，尤其适用于解决某些特定类型的行程问题。掌握了这种方法之后，面对类似的题目就能够更加游刃有余地应对了。