数学提分有妙招！特级教师独创函数顺口溜，吃透高考重难点

【来源：易教网 更新时间：2025-07-09】

各位家长朋友、正在备战高考的同学们，你们是否被函数这个"数学大魔王"折磨得焦头烂额？定义域、奇偶性、指数对数这些概念像一团乱麻？别着急！今天特别邀请到省重点中学特级教师王老师，带来他潜心研究30年的函数记忆绝招——把高考核心考点编成朗朗上口的顺口溜，配合独家解析和实战案例，让你轻松攻克函数难关！

一、函数基础概念篇：三句口诀打通任督二脉

"函数概念三要素，定义域对值域数。任意唯一相对应，表示两域区间助。"

王老师强调，理解函数要抓住三个核心：定义域（输入范围）、对应法则（运算规则）、值域（输出结果）。就像自动贩卖机，投进多少钱（定义域）按哪个按钮（对应法则），掉出什么商品（值域）。

实战案例：

求函数f(x)=√(x-2)+ln(3-x)的定义域

解析口诀："整式R为定义域；分式分母非零值；偶次根号内非负；各部成立求交集。"

分步破解：

1. 根号内x-2≥0 → x≥2

2. 对数函数3-x>0 → x<3

3. 取交集得定义域[2,3)

进阶技巧：遇到复合函数时，记住"由复求单代端点，知单求复求解集"。比如已知外层函数定义域是[1,4]，求内层函数g(x)的范围，只需将端点1和4代入计算即可。

二、函数特性攻坚篇：四大特性逐个击破

1. 单调性："区间单调局部性，任取作差符号定"

判断函数单调性三步法：

① 在定义域内任取x1

② 计算f(x1)-f(x2)

③ 根据差值正负判断增减

记忆图谱：

- 增函数图像：从左到右"爬楼梯"

- 减函数图像：从左到右"下楼梯"

- 特别注意："不连区间不能並"，比如y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)都递减，但整体不具单调性

2. 奇偶性："原点对称定义域，求出负x函数值"

判断奇偶性口诀表：

条件	结果	图形特征
f(-x)=-f(x)	奇函数	关于原点对称
f(-x)=f(x)	偶函数	关于y轴对称
两者都不满足	非奇非偶	无对称轴/中心

特殊案例：

- 既是奇函数又是偶函数的只有f(x)=0

- 奇函数若在x=0处有定义，必过原点（f(0)=0）

3. 最值求解："先定函数定义域，单调区间端点值"

闭区间求最值四步法：

1. 确定定义域边界

2. 找出所有临界点（导数为0或不存在的点）

3. 计算端点及临界点函数值

4. 比较大小确定最值

经典例题：

求f(x)=x-3x在[-2,2]上的最值

解析：

- 导数f'(x)=3x-3=0 → x=±1

- 计算f(-2)=-2, f(-1)=2, f(1)=-2, f(2)=2

- 最大值2，最小值-2

三、特殊函数突破篇：指数对数幂函数全解析

1. 指数函数："底数为正不等1，定义域为实数集"

记忆口诀："大1递增底大快，递减小快小于1"

图像特征：

- 必过定点(0,1)

- a>1时：右上方"爆炸式"增长

- 0

生活应用：

- 复利计算：A=P(1+r)^t

- 放射性衰变：N=N0·(1/2)^(t/T)

2. 对数函数："定义域正值域R，定点（1，0）恒过它"

黄金公式："对数恒等式 a^{log_a N}=N"

运算技巧："对数运算乃降级，积商幂化和差积"

易错警示：

- log_a(MN) ≠ log_a M + log_a N（当真数含负数时）

- 换底公式：log_b a = 1/(log_a b)

3. 幂函数："底数变量指常数，五种函数要记住"

特殊幂函数速查表：

四、函数应用篇：零点与二分法实战

1. 零点定理："连续两端值正负，存在零点在内部"

指数α	函数式	图像特征
1	y=x	过原点直线
2	y=x	抛物线
3	y=x	"S型"曲线
-1	y=1/x	双曲线
1/2	y=√x	右半抛物线

判断零点存在性三步曲：

1. 验证函数在区间[a,b]连续

2. 检查f(a)·f(b)<0

3. 结合单调性确定唯一性

高考真题：

证明方程x-4x+1=0在(0,1)内有实根

解析：

- 设f(x)=x-4x+1

- f(0)=1>0，f(1)=1-4+1=-2<0

- 由零点定理知存在c∈(0,1)使f(c)=0

2. 二分法："确定区间精确度，求出中点验符号"

四步操作指南：

1. 确定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)<0

2. 计算中点c=(a+b)/2，求f(c)

3. 根据f(c)符号缩小区间

4. 重复步骤2-3直至达到精度要求

计算机模拟：

用Python实现二分法求√2近似值（误差<0.001）

```python

a, b = 1, 2

while b - a > 0.001:

c = (a + b) / 2

if c2 > 2:

b = c

else:

a = c

print(f"√2≈{a:.3f}")

```

五、学霸养成计划：三类增长函数比较

记忆口诀："对数先快后缓平，指数爆炸慢变快，幂函数型介中行"

增长速度对比表（x→+∞）：

函数类型	增长速度	典型函数	实际应用
对数函数	最慢	y=lnx	算法时间复杂度
幂函数	中等	y=x, y=√x	面积/体积计算
指数函数	最快	y=2^x, y=e^x	病毒传播模型

深度思考：

为什么说"指数爆炸"比"几何增长"更可怕？

——因为指数函数每一步的增量都是前一步的固定倍数，而几何增长只是等比增加。比如复利计算中，年利率5%的指数增长，30年后本金将翻4.32倍！

同学们，记住王老师的顺口溜不是终点，而是攻坚函数的起点！建议大家把这些口诀写在便签纸上，贴在书桌前随时记忆。家长朋友可以陪孩子玩"函数接龙"游戏：你说定义域，我讲单调性，让枯燥的公式变成有趣的亲子互动。坚持21天，你会发现函数不再是拦路虎，而是提分利器！

下期预告：数学特级教师将带来《导数篇：用"变速跑"原理秒解极值问题》，敬请期待！现在就去试试用这些口诀解两道函数题吧，实践才是检验真理的唯一标准！