奥数探秘之欧拉定理

【来源：易教网 更新时间：2024-08-27】

简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系

v+f-e=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

认识欧拉

欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。

欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。

19世纪伟大的数学家高斯(gauss，1777-1855)曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如 π，i，e，sin，cos，tg，σ，f (x)等等，至今沿用。

欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有关系v+f-e=2，此式称为欧拉公式。

v+f-e即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”?欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......

欧拉定理的意义

(1)数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

(2)思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸;方法上将底面剪掉，化为平面图形(立体图→平面拉开图)。

(3)引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

(4)提出多面体分类方法：

在欧拉公式中， f (p)=v+f-e 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

(5)利用欧拉定理可解决一些实际问题

如：为什么正多面体只有5种? 足球与c60的关系?否有棱数为7的正多面体?等

欧拉定理的证明

方法1：(利用几何画板)

逐步减少多面体的棱数，分析v+f-e

先以简单的四面体abcd为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数v、棱数v与剩下的面数f1变形后都没有变。因此，要研究v、e和f关系，只需去掉一个面变为平面图形，证v+f1-e=1

(1)去掉一条棱，就减少一个面，v+f1-e不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

(2)从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，v+f1-e不变，直至只剩下一条棱。

以上过程v+f1-e不变，v+f1-e=1，所以加上去掉的一个面，v+f-e =2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数v，面数f，棱数e。剪掉一个面，使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和σα

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有f个面，各面的边数为n1,n2，…，nf，各面内角总和为：

σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]

= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800

=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 (1)

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有v个顶点中，有n个顶点在边上，v-n个顶点在中间。中间v-n个顶点处的内角和为(v-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

所以，多面体各面的内角总和：

σα = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

=(v-2)·3600. (2)

由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =(v-2)·3600

所以 v+f-e=2.

欧拉定理的运用方法

(1)分式：

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

(2)复数

由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形

设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d^2=r^2-2rr

(4)多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形

设一个二维几何图形的顶点数为v，划分区域数为ar，一笔画笔数为b,则有：

v+ar-b=1

(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，v=5,ar=4,b=8)

(6). 欧拉定理

在同一个三角形中，它的外心circumcenter、重心gravity、九点圆圆心nine-point-center、垂心orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型?

答：足球是多面体，满足欧拉公式f-e+v=2，其中f,e,v分别表示面,棱,顶点的个数

设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

面数f=x+y

棱数e=(5x+6y)/2(每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用)

顶点数v=(5x+6y)/3(每个顶点由三块皮子共用)

由欧拉公式，x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，解得x=12

所以共有12块黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20

所以共有20块白皮子。