一、 连续提取公因式法   

例1分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995=____.   

分析：将第1、2项结合，然后连续提取公因式．   

解：原式＝(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995   =(1+x)(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995   =(1+x)2+x(1+x)2+…+x(1+x)1995   =…=(1+x)1996.

二、直接运用公式法   

例2分解因式：x2-4y2.   

解：原式＝(x+2y)(x-2y).

三、连续运用公式法   例3分解因式：x4-y4.

解：原式＝(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x-y)(x+y) 

四、先提取公因式后再运用公式   

例4分解因式：2x3y+8x2y2+8xy3.   

解：原式＝2xy(x2+4xy+4y2)=2xy(x+2y)2.  

 五、先分组再运用公式   

例5分解因式：x2-y2-x+y.   

解：原式＝(x2-y2)-(x-y)   =(x-y)(x+y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1).  

 六、拆项法   

例6分解因式：x3+2x2-5x-6.   

解：原式＝(x3+x2)+(x2-5x-6)   =x2(x+1)+(x+1)(x-6)   =(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x+3)(x-2).  

 七、添项法   

例7分解因式：x5+x-1.   

解：原式＝(x5+x2)-(x2-x+1)   =x2(x3+1)+(x2-x+1)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).   

八、换元法   

1、常数换元法   

例8分解因式：x4+1997x2+1996x+1997.   

解：令a=1997,则   原式＝x4+ax2+(a-1)x+a   =(x4-x2)+(ax2+ax+a)   =x(x3-1)+x(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+a)=(x2+x+1)(x2-x+1997).  
 
2、整体换元   

例9分解因式：(x2+6x+7)(x2+6x+8)-12.   

解：设y=x2+6x+7,则   原式＝y(y+1)-12=y2+y-12=(y+4)(y-3)=(x2+6x+4)(x2+6x+11).  

 3、分部换元   

例10分解因式：（xy-1）2-(x+y-2xy)(2-x-y).   

解：设x+y=a,xy=b,则   原式＝(b-1)2-(a-2b)(2-a)=b2-2b+1-2a+4b+a2-2ab   =(a2-2ab+b2)-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=(x-1)2(y-1)2.

4、局部换元   

例11分解因式：(x2+x+3)(x2-6x+3)+12x2.   

解：设x2+3=y,则   原式＝(y+x)(y-6x)+12x2   =y2-5xy+6x2=(y-2x)(y-3x)=(x2-2x+3)(x2-3x+3).  

 5、均值换元   

例12分解因式：(x2+7x-5)(x2+7x+3)-33.   

解：设y=[(x2+7x-5)+(x2+7x+3)]=x2+7x-1,则   原式＝(y-4)(y+4)-33=y2-49=(y+7)(y-7)   =(x2+7x+6)(x2+7x-8)=(x+1)(x+6)(x-1)(x+8).  

 九、配方法   

例13分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z.   

解：原式＝(2x3-4x2y+2xy2)-(x2z-2xyz+y2z)=2x(x2-2xy+y2)-z(x2-2xy+y2)=(x-y)2(2x-z).  

 十、变换主元法   

例14分解因式：x4+x2+2ax+1-a2.   

分析：本题是x的4次多项式，若将它变换为a的二次多项式，进行分解较为简洁．   

解：原式＝-a2+2xa+x4+x2+1=-[(a2-2xa+x2)-(x4+2x2+1)]=-[(a-x)2-(x2+1)2]=(x2-x+a+1)(x2+x-a+1).   

十一、局部结合法   

例15分解因式：(x-1)(x+3)(x+4)(x+8)+96.   

分析：将(x-1)与(x+8)，(x+3)与(x+4)分部结合展开，则所含字母相同．

于是原式＝[(x-1)(x+8)][(x+3)(x+4)]+96=(x2+7x-8)(x2+7x+12)+96   =(x2+7x-8)2+20(x2+7x-8)+96=(x2+7x-8+12)(x2+7x-8+8)=x(x+7)(x2+7x+4).  

 十二、待定系数法   

例16分解因式：x2+7xy-18y2-5x+43y-24.   

解：因原式中不含y的项x2-5x-24可分解为（x-8）(x+3),故可设   

原式＝(x+my-8)(x+ny+3)=x2+(m+n)xy+mny2-5x+(3m-8n)y-24,    

展开后，比较对应项的系数，得m+n=7   mn=-24,

解得，m=9,n=-2.   ∴原式＝(x+9y-8)(x-2y+3).