高中数学不是难在题多，而是难在概念绕弯、公式记混、思路断线。苏教版教材的结构清晰，但真正让学生在期中考试后皱眉的，往往是那几章“看起来懂，一做就错”的内容。我们不谈抽象理论，只说教室里真实发生的事。

三角函数，不是背公式，是画图

必修一的三角函数，很多学生背了sin、cos、tan的定义，但一遇到“求sin(2π/3)”就懵。问题不在计算，而在没在脑子里画出单位圆。正弦函数的图像不是课本上的一条曲线，而是点在圆上转圈时，y坐标怎么变。

学生常犯的错误是：看到“诱导公式”就慌，其实它只是告诉你，转一圈、转半圈、转四分之一圈，点的位置怎么对应。与其死记“sin(πα)=sinα”，不如拿张纸，画个圆，标出α和πα两个角，看它们的y值是不是一样。周期性不是概念，是重复；奇偶性不是术语，是镜像。练十道题不如画五遍图。

向量，别当数，当箭头

平面向量这一章，学生最容易被“向量既有大小又有方向”这句话唬住。他们以为这是个新数字，其实它就是一个带箭头的线段。向量加法不是5+3=8，是两个箭头首尾相接，新箭头从起点到终点。数量积更不是乘法，是投影的乘积：A·B = |A||B|cosθ，意思是“B在A方向上拉长了多少，再乘A的长度”。

如果学生把向量当成数字来算，比如把向量加法写成坐标直接相加却不画图，那错误就埋下了。考试里一出现“向量夹角”“共线”“垂直”，就该立刻想到：能不能用坐标算？能不能画图看？能不能用点积等于零判断垂直？别急着列式，先在草稿纸上画出来。

三角恒等变换，别拼公式，要拆结构

两角和差公式、倍角公式、降幂公式，加起来二十多条，学生记不住，是因为没找到规律。其实核心就三组：和差→倍角→降幂。比如，cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ，这是基础。当你看到cosx，别急着套降幂，先想：这是不是(cosx)？能不能用cos2x=2cosx1反推？

做题不是背公式，是看结构。题目给的是sin2x，你就该想到“这是2sinxcosx”；给的是1cos2x，你就该想到“这是2sinx”。练得多了，看到式子，脑子自动弹出变形路径，而不是翻书找公式。

解三角形，不是套定理，是找边角关系

余弦定理和正弦定理，学生背得熟，但一遇到“已知两边及其中一边的对角”，就乱套正弦定理，得出两个解却不知道哪个合理。问题出在没画图。三角形不是代数题，是几何题。你给的边长是3、5、角A是30°，先画个角A，再以A为顶点画一条3的边，然后以另一端为圆心画半径5的圆——圆和另一边可能交两点，也可能不交。

这就是为什么会有两解、一解或无解。考试中，这类题往往结合实际场景：测量塔高、船行方向、山坡角度。别急着列公式，先问：这个角在哪个三角形里？哪条边是已知的？哪条边是要求的？画对图，答案就在图里。

复数，别当“虚数”，当坐标

复数最难的不是i=1，而是学生总想把它当成“奇怪的数”。它其实是平面上的一个点：3+4i，就是x=3，y=4。加减法就是坐标加减，乘法是旋转加伸缩。

当你算(1+i)，别算成1+2i1=2i，而要想：1+i是45°方向，长度√2，平方就是旋转90°，长度变成2，结果就是(0,2)，也就是2i。几何意义不是附加内容，是理解复数的钥匙。指数形式e^{iθ}=cosθ+isinθ，不是神秘公式，是把圆周运动写成数学语言。

只要把复数看成坐标，所有运算都变得自然。

立体几何，别靠想象，靠截面

柱、锥、台、球，学生背得滚瓜烂熟，但一遇到“求异面直线夹角”“求点到面距离”，就束手无策。空间想象不是天赋，是练出来的。你拿一张纸，折成三棱锥，剪开侧面，摊平，看展开图。求体积，别只记公式，想想：这个体能不能切成两个容易算的部分？比如一个三棱柱减去一个三棱锥？表面积呢？

别直接套S=πr+πrl，先问：这个面是三角形？是扇形？是矩形？每个面单独算，再加。考试中常考“球内接正方体”，别慌，先画正方体，再画球，发现球直径就是正方体对角线，问题就变成：正方体边长为a，对角线是a√3，所以球半径是(a√3)/2。思路清了，公式自己就冒出来。

统计与概率，别背术语，看数据怎么来的

抽样方法不是为了考试背“简单随机”“分层抽样”这些词，而是为了知道：你拿到的数据，靠不靠谱。如果一个调查问“你每天学习几小时”，只在重点班发问卷，结果能代表全市吗？分层抽样不是“分班抽”，是按人群特征分组，比如城乡、年级、性别，每组按比例抽。

学生常误以为“随机”就是随便抽，其实随机是每个个体有相同机会被选中。统计题的陷阱，往往不在计算，而在“样本有没有代表性”。一道题说“调查某校高一学生身高”，却只在操场上抽人——跑操的肯定比常待教室的高？这数据能用吗？看数据来源，比算平均数重要得多。

这些难点，不是靠刷题堆出来的，是靠理解背后的逻辑、画图、拆结构、问为什么练出来的。

老师讲得再细，学生自己不动笔画图，不问“这个式子长什么样”，不尝试用不同方式解释同一个概念，就永远在表面打转。

家长说“多做题”，但题做千遍，若没悟透本质，不过是重复错误。

真正有用的练习，是做完一道题，合上书，闭上眼，能复述：这道题，是哪个图在说话？是哪个公式在背后撑着？是哪条线段在引导方向？

数学不是记答案，是学会看结构。

你看到的不是数字，是图形在动。

你算的不是公式，是关系在变化。

你做的不是题，是训练自己的眼睛，去看数学的形状。