高中数学中的计数问题，常出现在选择题和填空题中，题量小、分值高，速度和准确率直接影响整体成绩。很多学生不是不会，而是方法混乱，耗时长，易出错。下面直接讲清楚几种实用技巧，不绕弯子，能用上就行。

一、模型化思维：看到问题，立刻分类

遇到“选人”“排位”“分组”这类问题，别急着列式，先判断是排列还是组合。

- 选3人参加比赛，不考虑顺序 → 用组合 C(5,3) = 10。

- 选3人分别担任班长、副班长、学习委员 → 顺序重要 → 用排列 A(5,3) = 60。

有附加条件？直接在模型里扣掉。

- 甲必须参加 → 剩下4人选2人 → C(4,2) = 6。

- 乙不能参加 → 从剩下4人中选3人 → C(4,3) = 4。

模型清晰，计算一步到位。不需要画图，不需要枚举。每天练3道这类题，一个月后看到题就能反应出该用哪个公式。

二、加法与乘法：分清“或”和“且”

加法原理：多个独立路径，选一个就行 → 加。

- 从北京到上海：4个航班 或 3趟高铁 → 4 + 3 = 7 种方式。

- 求从A到C的路径：A→B→C 有3条，A→D→C 有2条 → 3 + 2 = 5 条。

乘法原理：必须一步步完成 → 乘。

- 上衣3件，裤子2条 → 3 × 2 = 6 种搭配。

- 从家到学校有2条路，学校到图书馆有4条路 → 2 × 4 = 8 种走法。

关键：看是不是“必须全部完成”。如果是“选一条路”，用加法；如果是“先选路再选车”，用乘法。

三、三种高频技巧：排除、插空、捆绑

1. 排除法：正难则反

“至少一个”“不全不”这类题，直接算反面更省事。

- 3次射击，每次命中概率独立，求至少命中1次。

- 不如算：全不中的概率 = (1-p)，再用 1 - (1-p)。

- 题目没给概率？换成具体数字：3次投篮，每次投不中的概率是0.5，求至少进1球 → 1 - (0.5) = 1 - 0.125 = 0.875。

不用列所有命中情况，省时间，少出错。

2. 插空法：不相邻就先排别人

题目：4个男生和3个女生站一排，女生不能相邻。

步骤：

- 先排男生：4个人全排列 → A(4,4) = 24 种。

- 男生站好后，形成5个空位（前后和中间）：_ M _ M _ M _ M _

- 在5个空位中选3个放女生 → C(5,3) = 10。

- 女生内部可互换 → A(3,3) = 6。

总数：24 × 10 × 6 = 1440 种。

记住：先排多的，再把少的插进空里。女生少，就插在男生之间。

3. 捆绑法：必须在一起就当成一个

题目：甲乙必须相邻，5人排队。

步骤：

- 把甲乙捆成一个“大元素” → 现在有4个元素排列（甲乙、丙、丁、戊）→ A(4,4) = 24。

- 甲乙内部可以互换 → 2种顺序。

- 总数：24 × 2 = 48。

同理，三人必须相邻 → 捆成一个，内部排列 A(3,3) = 6，再乘外部排列。

四、常见错误，别踩坑

1. 排列和组合分不清

排队是排列，选代表是组合。记不住就问自己：换顺序算不算不同？算，就是排列；不算，就是组合。

2. 重复计数

分组题容易多算。比如：把6人分成两组，每组3人。

错误做法：C(6,3) = 20，以为就是答案。

正确：C(6,3) / 2 = 10，因为选A组和选B组是同一组分法，重复了一次。

3. 忽略隐含条件

“数字不能重复”“首位不能为0”“偶数”“不能相邻”——这些词不是装饰，是限制。每次做题，先圈出关键词。

五、怎么练？

每天练3道题，不用多。

- 第1题：选代表，有无限制？

- 第2题：排队，谁必须在一起？

- 第3题：至少……，反着算。

做完后，问自己：

- 用了哪个模型？

- 是加法还是乘法？

- 有没有重复或遗漏？

- 有没有更简单的方法？

错题本不抄题，只记：错在哪？怎么改？

比如：

> 错题：5人排成一排，甲乙不相邻，算成 A(5,5) - A(4,4) = 120 - 24 = 96。

> 错因：没考虑甲乙捆在一起是2种，应该减 2×A(4,4)=48 → 正确是 120 - 48 = 72。

坚持两周，你会发现自己看到计数题，脑子里自动跳出模型，不用犹豫，直接列式。

高考选填题每题控制在1分钟内完成，计数题是突破口。别靠感觉，靠模型。模型清，速度就快；方法对，错误就少。

别迷信技巧，技巧是建立在理解上的。理解了加法乘法的本质，插空捆绑就是自然延伸。别背公式，背逻辑。