闭合电路的欧姆定律：原理、应用与实例解析

一、电源的电动势与内阻

1. 电源的本质与功能

电源是通过非静电力做功将其他形式的能量（如化学能、机械能等）转化为电势能的装置。例如，干电池通过化学反应产生电能，发电机则通过电磁感应将机械能转化为电能。电源的核心作用是维持电路中持续的电流，从而驱动用电器工作。

2. 电动势的物理意义

- 定义：电动势（用符号 *E* 表示）是衡量电源将非电能转化为电能本领的物理量。其数值等于电源未接入电路时两极间的电压。

- 单位：伏特（V）。

- 物理意义：电动势越大，电源的“供能能力”越强。例如，9V电池的电动势是1.5V电池的6倍，说明其转化能量的效率更高。

3. 内阻的特性与影响

- 定义：电源内部导体的电阻，用符号 *r* 表示。

- 作用：内阻的存在会导致电源在工作时发热，从而降低能量的利用率。例如，手机充电器长时间使用后发烫，正是内阻消耗电能的体现。

二、闭合电路的欧姆定律

1. 定律表述与公式推导

- 内容：闭合电路中的电流 *I* 与电源电动势 *E* 成正比，与电路总电阻（外电阻 *R* + 内阻 *r*）成反比。

- 公式：

\[ I = \frac{E}{R + r} \]

- 适用条件：电路为纯电阻电路（如电阻、灯泡等），且电源内阻为定值。

2. 路端电压与外电阻的关系

- 公式推导：

路端电压 *U* 可表示为：

\[ U = IR = \frac{E}{R + r} \cdot R = E - Ir \]

其中，\( Ir \) 是电源内部的电压降。

- 关系分析：

- 当外电阻 *R* 增大时，电流 *I* 减小，路端电压 *U* 增大。

- 当外电路断开（*R* → ∞）时，电流 *I* = 0，此时路端电压 *U* = *E*。

- 当外电路短路（*R* = 0）时，电流 *I* = \( \frac{E}{r} \)，此时路端电压 *U* = 0。

三、闭合电路的功率与效率

1. 电路中的能量分配

- 总功率：电源提供的总功率 \( P_{\text{总}} = EI \)。

- 输出功率：负载电阻 *R* 消耗的功率 \( P_{\text{出}} = I^2 R \)。

- 内阻损耗功率：电源内部发热消耗的功率 \( P_{\text{损}} = I^2 r \)。

2. 输出功率与外电阻的关系

通过数学推导可得：

\[P_{\text{出}} = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}\]

结合图像分析，输出功率随外电阻 *R* 的变化呈现以下规律：

- 当 *R* < *r* 时，增大 *R* 可使 \( P_{\text{出}} \) 增大。

- 当 *R* = *r* 时，\( P_{\text{出}} \) 达到最大值 \( P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r} \)。

- 当 *R* > *r* 时，增大 *R* 会导致 \( P_{\text{出}} \) 减小。

3. 电路效率

效率 \( \eta \) 定义为输出功率与总功率的比值：

\[\eta = \frac{P_{\text{出}}}{P_{\text{总}}} = \frac{R}{R + r}\]

- 当 *R* = *r* 时，效率 \( \eta = 50\% \)，此时输出功率最大但效率并非最高。

- 当 *R* → ∞ 时，效率趋近于100%，但此时电流为0，电路无法实际工作。

四、典型例题解析

例1：电路设计与功率优化

某电源电动势 *E* = 12V，内阻 *r* = 2Ω，若需使负载电阻 *R* 的输出功率最大，应选择多大阻值的电阻？最大输出功率为多少？

解答：

根据 \( P_{\text{出}} \) 极大时 *R* = *r*，故选择 *R* = 2Ω。

最大功率 \( P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r} = \frac{12^2}{4 \times 2} = 18W \)。

例2：路端电压计算

若电源电动势 *E* = 6V，内阻 *r* = 1Ω，外电路电阻 *R* = 5Ω，求路端电压 *U* 和电路效率。

解答：

电流 \( I = \frac{6}{5+1} = 1A \)，

路端电压 \( U = IR = 5V \)，

效率 \( \eta = \frac{5}{6} \approx 83.3\% \)。

五、实验探究与生活应用

1. 内阻测量方法

- 伏安法：通过改变外电阻 *R*，测量对应的路端电压 *U* 和电流 *I*，利用公式 \( E = U + Ir \) 计算内阻。

- 短路法：短路外电路时，电流 \( I_{\text{短}} = \frac{E}{r} \)，故 \( r = \frac{E}{I_{\text{短}}} \)。

2. 实际应用案例

- 手机充电器：内阻较小的设计可减少发热，提高充电效率。

- 汽车电瓶：低温下内阻增大，导致启动电流不足，需预热以降低内阻。

六、常见误区与学习建议

误区1：混淆电动势与电压

- 电动势是电源的固有属性，而电压是电路中两点间的电势差，受电路连接方式影响。

误区2：认为短路时电源损坏

- 短路虽导致电流极大，但实际中保险丝或电路保护装置会切断电路，避免损坏电源。

学习建议：

1. 通过电路仿真软件（如Multisim）模拟不同电阻下的电流、电压变化。

2. 结合能量守恒定律理解功率分配关系。