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掌握数学思维：提升解决问题的能力
更新时间：2024-11-18
没有好的高一，必然没有好的高考；没有高一的危机感和紧迫感，就没有高三的从容自信！
观察能力
一个有较强的观察能力的学生，在观察实验时和自己做实验时，就能抓住过程和现象的特征，能够敏锐地发现一些原来设想不到的或有细微差别的现象，也能从周围的日常生活中获得很多的知识。怎样培养自己的观察能力呢?观察时必须目的明确、专心致志，抓住观察现象的特征。对实验的每一步骤，都要明确主要是探索或验证什么，把观察的注意力集中到这点上。观察还必须精细，留心有什么新的现象发生，而不是浮光掠影、视而不见。
我们还要敏于观察，对一些现象还要反复观察。在观察过程中积极思考，在实践中就能不断提高自己的观察能力。
思维能力
思维能力是各种能力的核心。思维包括分析、综合、概括、抽象、推理、想象等过程。应通过概念的形成、规律的得出、模型的建立、知识的应用等培养思维能力。因此，在学习过程中，不但要学到知识，还要学到科学的思维方法，发展思维能力。
要提高思维能力，就要经常用比较法进行学习。首先，在学习每一个新概念时，不但听老师讲解，还要自己进行比较，找出相似的例子，加深认识。第二，学到意义相近的概念、规律时加以比较，从多角度、多方面分析其区别与联系。经常用比较法进行学习，可以学会全面分析问题，从多种事物发现它们的联系、区别和各自特征，使思维的广阔性和深刻性得到提高。
实践动手能力
学习中既要善于动脑，也要善于动手。实际操作能力主要指能够做出东西来，并且养成一系列有关智力的意志品质(如事前设计好操作步骤、能正确使用仪器和工具、注意准确和精密、及早纠正偏差或迅速改用更合理的方案等)。课堂上做好分组实验和随堂小实验，在课外积极参加各种创意实验设计和科技发明创造活动，都能使自己的实践动手能力得到很好的提高。在课堂、课外的实验和各项设计、制作活动中，都要努力和现代信息技术的应用结合起来，培养收集、处理和利用信息的能力。
创新精神和创造能力
培养自己的创造才能，首先要学会发现问题，敢于提出问题。爱因斯坦说过：“发现问题往往比解决问题更重要。”要敢于对已有的结论提出疑问，敢于抒发自己的不同意见，敢于通过自己的探索去“发现”知识。要通过课内老师指引下的研究性学习，以及课外自订题目、独立进行的研究性的探索，体验知识的发现过程，学会学习，学会思考，学会求异，学会创新。要知道，科学的发展离不开创造，要想将来在科学上有所建树，是离不开创造性思维的。今天具有创新性的学习精神，他日就能在国家的社会主义建设中，抢占科技发展高级领域中的“制高点”，进而控制一大片的开阔地带，成为攀登科技高峰的优秀人才。
一、“弃重求轻”，培养兴趣
女生数学能力的下降，环境因素及心理因素不容忽视．目前社会、家庭、学校对学生的期望值普遍过高．而女生性格较为文静、内向，心理承受能力较差，加上数学学科难度大，因此导致她们的数学学习兴趣淡化，能力下降．因此，教师要多关心女生的思想和学习，经常同她们平等交谈，了解其思想上、学习上存在的问题，帮助其分析原因，制定学习计划，清除紧张心理，鼓励她们“敢问”、“会问”，激发其学习兴趣．同时，要求家长能以积极态度对待女生的数学学习，要多鼓励少指责，帮助她们弃掉沉重的思想包袱，轻松愉快地投入到数学学习中；还可以结合女性成才的事例和现实生活中的实例，帮助她们树立学好数学的信心．事实上，女生的情感平稳度比较高，只要她们感兴趣，就会克服困难，努力达到提高数学能力的目的．
二、“开门造车”，注重方法
在学习方法方面，女生比较注重基础，学习较扎实，喜欢做基础题，但解综合题的能力较差，更不愿解难题；女生上课记笔记，复习时喜欢看课本和笔记，但忽视上课听讲和能力训练；女生注重条理化和规范化，按部就班，但适应性和创新意识较差．因此，教师要指导女生“开门造车”，让她们暴露学习中的问题，有针对地指导听课，强化双基训练，对综合能力要求较高的问题，指导她们学会利用等价转换、类比、化归等数学思想，将问题转化为若干基础问题，还可以组织她们学习他人成功的经验，改进学习方法，逐步提高能力．
三、“笨鸟先飞”，强化预习
女生受生理、心理等因素影响，对知识的理解、应用能力相对要差一些，对问题的反应速度也慢一些．因此，要提高课堂学习过程中的数学能力，课前的预习至关重要．教学中，要有针对性地指导女生课前的预习，可以编制预习提纲，对抽象的概念、逻辑性较强的推理、空间想象能力及数形结合能力要求较高的内容，要求通过预习有一定的了解，便于听课时有的放矢，易于突破难点．认真预习，还可以改变心理状态，变被动学习为主动参与．因此，要求女生强化课前预习，“笨鸟先飞”．
四、“固本扶元”，落实“双基”
女生数学能力差，主要表现在对基本技能的理解、掌握和应用上．只有在巩固基础知识和掌握基本技能的前提下，才能提高女生的综合能力．因此，教师要加强对旧知识的复习和基本技能的训练，结合讲授新课组织复习；也可以通过基础知识的训练，使学生对已学的知识进行巩固和提高，使他们具备学习新知识所必需的基本能力，从而对新知识的学习和掌握起到促进作用．
五、“扬长补短”，增加自信
在数学学习过程中，女生在运算能力方面，规范性强，准确率高，但运算速度偏慢、技巧性不强；在逻辑思维能力方面，善于直接推理、条理性强，但间接推理欠缺、思维方式单一；在空间想象能力方面，直觉思维敏捷、表达准确，但线面关系含混、作图能力差；在应用能力方面，“解模”能力较强，但“建模”能力偏差．因此，教学中要注意发挥女生的长处，增加其自信心，使其有正视挫折的勇气和战胜困难的决心．特别要针对女生的弱点进行教学，多讲通解通法和常用技巧，注意速度训练，分析问题既要“由因导果”，也要“执果索因”，暴露过程，激活思维；注重数形结合，适当增加直观教学，训练作图能力，培养想象力；揭示实际问题的空间形式和数量关系，培养“建模”能力．
六、“举一反三”，提高能力
“上课能听懂，作业能完成，就是成绩提不高．”这是高中阶段女生共同的“心声”．由于课堂信息容量小，知识单一，在老师的指导下，女生一般能听懂；课后的练习多是直接应用概念套用算法，过程简单且技能技巧要求较低，她们能完成．但因速度和时间等方面的影响，她们不大注重课后的理解掌握和能力提高．因此，教学中要编制“套题”（知识性，技能性）、“类题”（基础类，综合类，方法类）、“变式题”（变条件，变结论，变思想，变方法），并对其中具有代表性的问题进行详尽的剖析，起到“举一反三”、“触类旁通”的作用，这有利于提高女生的数学能力．
高二数学(理)学习方法：重在培养分析判断能力
【数学】重在培养观察、分析和推断能力培养浓厚的兴趣
高中的数学概念抽象、习题繁多、教学密度大，因此，高一过后，一些同学对数学望而生畏。
数学的学习其实不会很难，关键是你是否愿意去尝试。当你敢于猜想，说明你拥有数学的思维能力；而当你能验证猜想，则说明你已具备了学习数学的天赋！认真地学好高二数学，你能领悟到的还有：怎么用最少的材料做满足要求的物件；如何配置资源并投入生产才能获得最多利润；优美的曲线为什么可以和代数方程式建立起关系；为什么出车祸比体育彩票中奖容易得多；为什么一个年段的各个班级常常出现生日相同的同学……
当你陷入数学魅力的“圈套”后，你已经开始走上学好数学的第一步！
培养分析、推断能力
其实，数学不是知识性、经验性的学科，而是思维性的学科。高中数学就充分体现了这一特点。因此，数学的学习重在培养观察、分析和推断能力，开发学习者的创造能力和创新思维。所以，在学习数学的过程中，要有意识地培养这些能力。
关于学习方法和效果的关系，可以这样描述：当你愿意去看懂部分题目的答案时，你的考试成绩应该可以轻松及格；当你热衷于研究各种题型，定期做出小结的时候，你一定是班级数学方面的优等生；而当你习惯根据数学定义自己出题，并解决它，你的数学水平已经可以和你的老师并驾齐驱了！
尝试这些学习方法
学习程度不同的学生需要不同的学习方法。
如果你正因为数学的学习状态低迷而苦恼，请按如下要求去做：预习后，带着问题走进课堂，能让你的学习事半功倍；想要做出完美的作业是无知的，出错并认真订正才更合理；老师要求的练习并不是“题海”，请认真完成，少动笔而能学好数学的天才即使有，也不是你；考试时，正确率和做题的速度一样重要，但是合理地放弃某些题目的想法能帮助你发挥正常水平。
如果你正因为数学的学习成绩进步缓慢而郁闷，请接受如下建议：收集你自己做过的错题，订正并写清错误的原因，这些材料是属于你个人的财富；对于考试成绩，给自己定一个能接受的底线，定一个力所能及的奋斗目标；合理的作息时间和良好的学习习惯将有助你获得稳定的学习成绩，所以，请制定好学习计划并努力坚持；把很多时间投入到一个科目中去，不如把学习精力合理分配给各个学科。
培养分析、推断能力
其实，数学不是知识性、经验性的学科，而是思维性的学科，高中数学就充分体现了这一特点。所以，数学的学习重在培养观察、分析和推断能力，开发学习者的创造能力和创新思维。因此，在学习数学的过程中，要有意识地培养这些能力。
关于学习方法和效果的关系，可以这样描述：当你愿意去看懂大部分题目的答案时，你的考试成绩应该可以轻松及格；当你热衷于研究各种题型，定期做出小结的时候，你一定是班级数学方面的优等生；而当你习惯根据数学定义自己出题，并解决它，你的数学水平已经可以和你的老师并驾齐驱了！
尝试这些学习方法
学习程度不同的学生需要不同的学习方法。
如果你正因为数学的学习状态低迷而苦恼，请按如下要求去做：预习后，带着问题走进课堂，能让你的学习事半功倍；想要做出完美的作业是无知的，出错并认真订正才更合理；老师要求的练习并不是“题海”，请认真完成，少动笔而能学好数学的天才即使有，也不是你；考试时，正确率和做题的速度一样重要，但是合理地放弃某些题目的想法能帮助你发挥正常水平。
如果你正因为数学的学习成绩进步缓慢而郁闷，请接受如下建议：收集你自己做过的错题，订正并写清错误的原因，这些材料是属于你个人的财富；对于考试成绩，给自己定一个能接受的底线，定一个力所能及的奋斗目标；合理的作息时间和良好的学习习惯将有助你获得稳定的学习成绩，所以，请制定好学习计划并努力坚持；把很多时间投入到一个科目中去，不如把学习精力合理分配给各个学科。人对于某一知识领域的学习常出现“高原现象”，就是说当达到一定程度，再努力时，进步开始不明显。
数学对人的综合能力培养意义深远
——访著名数学家、中国科学院院士杨乐
近年来，我国教育界对数学的看法存在两个极端，一方面是畸形地重视，表现为“奥数”等数学竞赛在大中城市愈演愈烈；与此同时，一些人对数学不再重视，甚至认为数学可有可无，没有数学照样“走遍天下”。应该如何看待数学和数学教育？日前，本报记者采访了著名数学家、中科院院士杨乐。
“奥数”扼杀学生的数学兴趣
中国教师报：前不久，中国小学生的一道“奥数”题难倒了世界著名数学家安德烈·奥昆科夫，这位数学家坦言自己从未上过“奥数”，他认为那些太刁钻的题目，很可能伤害了孩子们学习数学的兴趣。国内一些学者甚至认为，“奥数”对青少年的危害甚于“黄赌毒”，呼吁取消“万恶的‘奥数’”。对此您有何看法？您认为“奥数”对培养青少年的数学能力有作用吗？
杨乐：我国的数学竞赛始于，由华罗庚、苏步青等著名数学家倡导，当时，这些竞赛在引导一部分对数学有兴趣的高中生在数学方面进行深造起到了很好的作用。当时的竞赛定位很清楚，就是让那些对数学确实感兴趣的高中生参与。
，我国首次参加了国际数学奥林匹克竞赛，从此，数学竞赛在中小学中越来越普及。这本来是一件好事，但是近年来出现了一些偏差，现在的“奥数”竞赛不仅在高中生中进行，初中生甚至小学生也开始参加；对于部分高中阶段年龄稍大的学生来说，如果对数学有兴趣，进而阅读相关书籍并参加比赛，是自然正常的。现在许多地方从小学、初中就开始办奥数班，进而上升到办校，结果使相当一部分学生感到枯燥，甚至对数学失去兴趣。因为“奥数”竞赛依然采用了应试的方式，它要求学生在短时间内通过考试对很有难度的题目做出解答。
中小学生的负担本来就很重，再加上“奥数”的课外训练，负担更加加重。长时间、超负荷的机械训练，学生是不能承受的。当学习负担加重时，不仅不能很好地激发学生的学习兴趣和培养学生的能力，反而可能使学生产生厌学情绪。
一些父母不切实际地望子成龙也是当代教育的一个误区，他们把在“奥数”一类的竞赛上获奖当作子女成才的标志。还有很多家长让孩子去参加“奥数”班，上“奥数”培训学校，参加“奥数”比赛，目的不是培养孩子的数学能力，而是为了升学时能够获得加分。一些教育工作者迎合了家长和学生的这种心态，把“奥数”当作一项产业来做。尽管教育部门与许多学者已经呼吁多次，但这种状况至今仍未得到根本改变。
中国教师报：每年我国中学生在包括数学在内的各学科国际奥林匹克竞赛中都能取得不少奖牌甚至金牌。有人认为获得奥赛奖牌是为国争光。
杨乐：现在不少人说，我们的中学生在国际数学奥林匹克竞赛上得了第一，是给中国争了光。是否得了第一就是为国争光了呢？这个问题要好好分析，我们要看到这些奖牌的背后。
“奥数”的对象本来定位于一部分对数学有兴趣的高中学生，其主旨是在教师指导下发展他们的数学能力，他们之间也可以取长补短，互相激励。而我国参加数学奥林匹克竞赛的孩子是通过层层考试选拔出来的，然后把选拔出来的孩子集中到夏令营和冬令营中，用削减其他课程的方式进行集中训练。而且这种集中辅导并不是启发式的，而更多的是对解题技巧的训练。
集中强化训练，它的目的不是让学生进行系统学习，认真思考，而是灌输给学生解决某些偏题的技巧。结果是学生数学能力不仅无法提高，对其他课程的学习也削弱了，这对学生的全面发展不利。不仅不能使他的数学能力和修养提高，而相反，有些学生负担太重了，到了上大学以后，他可能就产生厌倦的情绪了。
而西方国家参加数学奥林匹克竞赛是自然选拔，参加的只是对数学感兴趣的学生，和我们花费几个月时间进行集中强化训练不同，他们在竞赛前最多集中一二十天时间适应一下。在这种情况下，不能因为我们国家得了几个奖牌，就说我们比国外的水平高。即使我们在国际竞赛拿到了好成绩，我觉得这也没有什么可骄傲的。
现在，我们已经将“奥数”异化了，“奥数”强化班可能抹杀孩子对数学的兴趣，剥夺小学生应有的幸福愉快的童年，甚至影响了他们的睡眠，而且这对数学能力的培养没有一点好处。初中生、小学生低龄学“奥数”，全体学生的“奥数”狂热现象不正常，也不健康。?
一些认为自己学不好数学的人，可能是花的时间不够
中国教师报：您刚才说到“奥数”可能抹杀孩子对数学的兴趣。很多人认为数学是一门抽象的学科，本来就枯燥无味，学生没有兴趣是正常的。您认为是这样吗？如何培养对数学的兴趣？
杨乐：兴趣不是天生就有的，可以在后天培养出来。有的青少年学生觉得数学枯燥无味，因而对数学学习没有兴趣，甚至有点厌恶。如何培养对数学的兴趣呢？首先从多接触开始，不接触就很难有兴趣。比如，我们对某个地方的戏剧可能没有接触和了解，自然也对它没有兴趣，而当地人是从小看这种戏剧长大的，对它非常熟悉，就自然而然地对这种戏剧有兴趣。再比如，现在的年轻人对流行音乐很感兴趣，因为他们天天接触流行音乐，但对京剧感兴趣的年轻人不多。而京剧曾经也是当时的流行音乐，很多老年人在年轻时经常接触京剧，对它自然就很感兴趣。同样，要培养对数学的兴趣，就要多接触数学。
其次，要多下功夫，这样就会对数学有感受，水平也就可以提高，这是水到渠成的事情。只要自己多下功夫，学得比较好了，慢慢兴趣也就提高了。多接触，多下功夫，学得比较轻松，成绩也比较好。如果学生负担很重，长期下来没办法培养自己的兴趣。
对学数学的人来说数学很有意思，但不能要求所有的学生以后都成为数学家。一些学生以为自己天资不好，其实天资可能并没有想象中的那么重要。一些认为自己学不好数学的人，可能是花的时间不够。
数学教育的关键是要让学生达到基本要求，产生兴趣
中国教师报：在培养学生的数学兴趣和能力方面，教师应该注意什么？您对中小学数学教师的课堂教学有何建议？
杨乐：搞好数学教学首先还是要认识数学的特点。数学是最为严谨的科学，一定要打好基础，循序渐进。
课堂这个环节是很重要的，教师在教学中要贯彻少而精的原则。一般来说，中小学教师一节课要讲的内容很少，通常也就一两页的知识，学生的记忆力、理解力比较强了，往往在课堂上就完全掌握了。
数学教育的关键是要让学生达到基本要求，产生兴趣。而长期以来我们过于强调高难度、高要求，给学生布置大量作业。一些成绩好的学生的家长可能会觉得，这样自己的孩子是不是学不到东西了，是否吃亏了？这种顾虑是多余的。因为教师讲得少而精，成绩好的学生花较少时间就可以掌握课堂教授的知识，做完习题，剩下的时间他自己可以找一些课外书看，或者找自己感兴趣的题来做。这样日积月累，可以发展学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养。实践证明，这样做的效果很好。
过去我们长期注重教师的教，要求学生完全按照教师的教导做，成绩好的学生就是好学生。成绩好固然重要，但更重要的是启发学生思考。这种启发教育应该从小开始，要鼓励学生多问，多思考问题，甚至提出与教师不同的想法。
因此，要把学生从沉重的负担中解放出来，让学生轻松地学，能够达到基本要求就可以了。对成绩优秀的学生，更多的是要让他们自己找参考书，学会自学。
数学能力的培养应该从中学开始
中国教师报：在我国，大多数文科生进入大学后几乎不再接触数学，中学时期学习的数学知识也逐渐遗忘殆尽，一些人担心这样会影响学生今后的发展。另一部分人则认为这很正常，文科生学数学没有用。您是怎样看待这个问题的？
杨乐：中学有很多课程是这样的命运，不是只有数学一门。不管是文科还是理科，都应该学好，这是做大学者的前提。丘成桐在年轻时看过很多杂书，眼光全面，不局限在一个领域，结果取得今天的成就。相反，一个人如果只在狭窄的领域耕耘，可能会做出一些成就，但水平不会太高。因为如果缺乏全面的眼光，就不可能形成自己的学术思想。
数学能力的培养应该从中学开始，要培养他们远大的理想和浓厚的兴趣，培养学生初步的研究能力、敏锐的观察能力和应用能力。中国学生注重考试，分数不错，但动手能力和创新能力欠缺，这方面有必要进一步加强。
虽然数学是中小学的必修课，但很多文科学生在上了大学后，接触数学的机会越来越少了。这样做是不科学的。其实文科生如果学一些数学的思想、概念或者方法，也还是有好处的。高层次的人才如果有了良好的数学基础，就有了空间想象能力、分析思考能力、解析问题的能力和严谨的逻辑推导与思维能力以及证明和计算的能力，这些能力是创新人才不可或缺的。因此，大学里绝大多数科系专业应该把数学作为重要的基础课程。
现在有些人，包括有些在大学学数学的本科生甚至是研究生，有时候感觉惶惑。他们认为学数学学得很苦、很难，但是学了到底有什么用呢？其实数学的确是各门科学的基础，也是高新技术的基础，而且随着科学的不断发展，数学的作用会越来越大。数学人才在许多领域、许多行业里都是大有作为、大有用武之地的。
数学对创新具有特殊的意义
中国教师报：过去我们曾经非常重视“数理化”，以至有“学好数理化，走遍天下都不怕”之说。近年来随着社会的发展，很多人认为数学不像以前那么重要了，甚至变得可有可无了，不学数学照样可以“走遍天下”。对此您怎么看？
杨乐：数学是中小学的一门重要课程，同时数学也是大学里绝大多数科系的一门非常重要和基础的课程，对人的综合能力培养意义深远。不仅是传统的理化和工科离不开数学，就是近些年来逐渐兴起的生物、经济、金融、管理等学科也都离不开数学。比如生物，以前生物学科用数学比较少，现在研究更深入更精确了，这就需要用数学，现在生物学科用数学越来越多。有一位生物学家就曾感叹地对我说，他拿到国外学者写的有些生物学论文看不懂。看不懂不是因为他的专业知识不够，而是因为里面有很多数学公式及其演算。面对当今生物科学的发展，他深感自己数学知识不够用。
不仅生物，其他很多学科用数学也越来越多。这是科学发展的趋势，并且以后这种趋势还会继续加强。随着计算机的普及，很多情况都要用计算机把问题化成数学问题，需要建立数学模型，并且还要算出来。建立什么样的模型，选择什么样的计算方法，等等，都离不开数学。有人误以为有了计算机就可以取代数学，其实恰恰相反，有了计算机用数学更多了，更离不开数学了。
我知道的国内外很多尖端人才，在各方面作出了重要贡献，这些人往往有一个特点，就是数学功底非常强。我们大家都知道的著名科学家钱学森，他成功的一个重要原因就是他的数学非常好；还有发明激光照排技术的王选，他是数学系毕业的。我碰到过很多中国科学院的其他学部的院士以及工程院的院士，其中不少人跟我提过，说他们在中学的时候，原来对数学很有兴趣，而且打下了很好的基础，在大学里也对数学很爱好，只是由于种种原因，最后没有进数学系，但是他们觉得在后来的学习和工作中，学习数学时所下的功夫，都起到了很好的作用。
中国教师报：数学对培养人的能力具体有哪些帮助？
杨乐：数学对个人能力的培养具有非常重要的作用。数学因为要研究几何图形，所以经过数学的学习以后，几何直观和空间想象的能力就能得到非常大的提高；数学是非常严谨的科学，需要非常严格的推导，所以在学习数学的过程中，能加强一个人严谨的逻辑推理能力；同时，要解决一个数学问题，需要对它进行分析，最后还要进行归纳，能提高一个人的分析和归纳能力；当然还有证明和计算能力，等等，这些能力对培养学生的创新能力非常重要。中学几何学习所受到的那种严谨训练，是别的学科所不能代替的。比如平面几何，可以培养人严谨的逻辑推导能力，一个学了平面几何的人和没有学过的人的思维是不一样的。
数学有着极端的严谨性。用数学语言量化地描述复杂事物内在各因素的关系、作用及其变化，是任何其他语言、其他方式所不能替代的。严格的循序渐进的数学训练不仅可以锻炼人的分析与钻研能力、思维能力，而且对于锻炼人的直观能力、推理能力、计算能力都是有很大的作用的。一个人不具备这些能力，谈不上什么真正的创新。现代科学不同于百年前科学发展的初期，那时一些杰出的科学家可能不用掌握多少数学知识，就可以作出突出的贡献。科学发展到今天，即使在二级学科里要想做出一点成绩，不经过长期的努力钻研和积累，也几乎是不可能的。
我常遇到一些其他行业的专家，他们提出这样的问题：当他那个学科越来越深入发展的时候，多因素、诸多复杂关系都要用数学公式来描述，而让人最感力不从心的往往就是数学。因此，我们进行素质教育，培养学生的数学能力是非常重要的。数学对创新具有特殊的意义。
“勤奋是最重要的”
中国教师报：对于一些有志于数学研究，想在数学上有所成就的人来说，您有何建议？您认为要想成为数学家什么是最重要的？
杨乐：对真正的数学家来说，勤奋是最重要的。灵感和机遇固然重要，但如果没有扎实的基础，有机遇也做不出什么来。
当今社会上有些人，无论是学习还是搞研究都显得有些浮躁，这很不利于成才。要想在科学上有所创新，有所发现，必须要掌握该领域已有的丰富知识，这要靠长期的积累。因此，成才是一个长期与艰苦的过程。特别是数学能力，更需要靠长时间的钻研与积累才能形成。年轻人要抓住精力旺盛与时间充裕的阶段，认真钻研一些问题。一个大学毕业生有没有发展后劲，其实主要并不在于他的专业知识的多少，而在于他的基础学科功底是否厚实。
一个人要尝到成功的喜悦，最重要的是靠长期坚持不懈的努力。不仅仅是数学，其他学科也一样。经过多年的发展，尤其是最近几十年飞速的发展以后，每门学科都有古今中外很多学者对它作出了各种贡献，使得每门学科都形成了非常丰富的内容。如果想要在此基础上继续做出成绩的话，首先要对这个领域里前人的主要思想、理论和方法有个全盘掌握，这样才能够“站在上面”继续提高。
这不是靠一点儿小聪明能够完成的，如果下定了决心努力，但如果你的努力只是几个星期或者几个月的话，并不会有太显著的成效。因为各门学科的内容都太丰富，尤其像数学这样的学科，它需要严格的循序渐进才能有所突破，不可能一蹴而就。成才是一个长期的过程，需要你拿出持久的精神，拿出跑“马拉松”的精神，而不是像跑百米那样去冲刺，那样不管用。