重视概念学习

多数人认为，学习数学就是解题，比如几何题要会画辅助线，还有会解比较难的压轴题。李邦河院士却说: 数学重要的是概念，而不是纯粹的解题技巧。概念的掌握在课堂，“向四十五分钟要成绩ā４幽诤和外延两个层面理解概念，在标准情况下，理解概念的内涵；在非标准情况及反例中，把握概念的外延。在概念的形成中，还应该理解知识之间的联系，如“临近的属+种差”形成概念——四边形、平行四边形、矩形……注意概念的隐含条件，如一次函数、二次函数，隐含最高次项系数不为0。以及前提条件，如两直线都与第三条直线垂直，那么这两直线平行，前提是“在平面内ǎ等等。概念学习中，要领会三种语言: 文字语言，图象语言，符号语言，实现数与形的结合。如勾股定理，用文字语言表达，画出直角三角形，用符号表示勾股定理。数学学习不能仅停留在每天的习题训练，即所谓的“刷题”上。要重视数学概念的学习，通过概念的构建，在分析、比较和概括的过程中，去领悟数学抽象的本质特征，从根本上提高数学能力。

重视思路探索

波利亚《怎样解题》的解题表，给探索解题思路提供了示范。如第二步“拟定计划”，他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题。如：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题?较长时间深度思考反复探索，大胆地跟着感觉走，下面还有一些很好的建议: 从自己知道的部分做起；从不同的角度看问题；画一个示意图，努力产生“好想法”；引入适当字母，架起已知和未知的桥梁；力求简单自然，直抵核心；要有充足的信心；要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力。“数学是思维的体操”，数学重在发展思维能力，重视思维品质的训练，即训练思维的敏捷性、灵活性、广阔性、深刻性、批判性和创造性。思维品质的训练是发展智力与能力的突破口，也是数学素养提高的关键。

重视思考总结

爱因斯坦大学毕业时成绩并不突出，结果做出很大成就，归功于他爱思考，爱因斯坦说：“学习知识要善于思考，思考，再思考。”“理解+记忆”的模式，对于数学学习是不适用的。有的学生之所以学习差，或者学习成绩不稳定、不突出，主要原因是不主动思考，加上课程多，更不想用长时间思考。数学学习中，有个错误倾向: 通过建立各种模型，然后像套公式一样去套模型。殊不知，现在考察的是对问题的思考和探索过程，套模型终将不灵。一个新的问题，要在观察和思考中，去发现已知和未知最本质的联系。经历尝试、分析、推理，即使没有解决，也积累了解决问题的经验，在此基础上总结归类，更能提高解题能力。数学学习重在对数学思想方法的总结。数学思想，如数形结合、分类、函数、方程、化归、整体等思想。具体的方法，如待定系数法、配方法、面积法、换元法、割补法等。这样就可以形成从数学内容中提炼出来的，又和数学内容紧密相连的，从低到高，从具体到抽象，有层次的数学认知结构。

重视习题训练

史宁中教授认为: 学数学不做题是不行的，但是大量做题也不一定是必须的。你做的每一道题是经过思考，而不是靠训练得到，这很重要，所以我建议要做一点稍难的题。学数学要做题，但不能认为，学数学就是做题。现在把题海战术发挥到了极致，不停地给孩子灌鸡汤，打鸡血，让孩子不停地刷题，把创造性的解题活动变成了单调的重复训练。不曾想，过多训练是乏味的，没有对过程思考的乐趣，是难以维持的。做题时，审题和检验是两个重要的环节。把握好这两个环节，可以大幅减少解题错误。对于简单的题，读题一两遍就可以做，不用检验，要有这份信心；对于中档的题，读题一两遍，做后要检验，这样更有把握；对于较难的题，要反复审题，发现联系，做后认真验证，不断积累经验。检验的方法有: 重新审题，复查校对，代入验证，多解对照，特殊情形，等等。解题是意志的训练，当求解不太容易的题目时，学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴。

重视反思错题

弗赖登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解水平不可能从一个水平升华到更高的水平。”优秀学生学习成功的公式为：主动学习+认真反思=学习优秀。从两个方面反思：错题反思——是条件看错了？是条件看漏了？是这部分内容或方法没掌握？还是没有联想到类似的问题？等等。态度反思——认真听讲没有？认真写作业没有？这阶段努力了吗？学习积极主动吗？学习方法合适吗？等等。如果说知识是“学”得的，技能是“习”得的，那么智慧则是通过反思“悟”得的。错题反思，主要是编制和用好错题本。“对于学生来说，最好的题目不是名师出的题目，而是自己的错题。”“做三道新题，不如认真分析一道错题”。《错题本》容易发现自己的薄弱点，《错题本》不仅仅是错题，还可以有好题新题。研究错题，可以更准确地理解概念，更有效地积累方法，更清晰地找到思路。坚持下去，你会发现，错题越来越少，做题的质量越来越高，成绩越来越好。

重视同学交流

美国研究学习的专家爱德加·戴尔1946年首先发现并提出学习金字塔: 阅读能够记住学习内容的10%；聆听能够记住学习内容的20%；参与讨论，发言能够记住70%；教授别人能够记住90%。我要说，教授别人不仅自己的知识得到了巩固，而且收获了友情，开阔了胸襟。我的公众号曾有一个专栏《我的中学生活》，请初中和高中的优秀毕业生谈自己的中学生活，这些同学有一个共同的特点，就是尽可能地去帮助同学，从而也成就了最好的自己。学习从疑问开始，作为另一个方面，学习中有了疑难要与同学交流，或大胆地问老师，“小疑则小进，大疑则大进āＳ械牡ㄗ有。有的碍于面子，不敢问，于是，失去了一次次的提高，或追赶的机会。当然，问要建立在自己充分思考的基础上，百思不得其解，问才能发挥最大的价值。互帮互学是提高学习的有效途径。帮别人学会，不但需要诚意和耐心，还需要高于同伴的观察、分析的能力以及启发、表达的经验，这是一次检验个人思维能力的实践。在这一过程中，个人能力会获得更有效的提升。

重视兴趣培养

著名数学家杨乐说: 天赋不是学好数学的关键，兴趣才是最好的老师。初二开始，我才对数学产生了浓厚的兴趣，成绩也好了起来。在我的教育生涯中，遇到过这样的学生，尤其是一些女生，她们很努力，但是数学就是学不好。老师讲了、提示了，其他同学很快就理解，他怎么也听不懂。我认为这样的学生，可能的原因是小时候智力没有得到有效开发，或对数学毫无兴趣。兴趣要从小培养，学龄前，要充分积累数和形的感性知识，不要过早涉及到符号，如家里几口人，要摆几个碗，几双筷子；九颗糖分三个朋友，每人给几颗；把相同形状的木块堆在一起。进入小学，要防止知识链断裂，如小学的应用题。为了使孩子考出高分，考满分，严格要求孩子注意每个标点，每一步格式，不曾想，这样严重地束缚了孩子的思维。著名数学家陈省身先生曾给中国科技大学的少年班题词：不要考100分。原中科大校长朱清时说：下好几倍的努力，训练得非常熟练才能不出小错，要争这高分，就需要浪费很多时间和资源，相当于土地要施10遍化肥，废掉的是孩子学习的激情和创造力。有的孩子，由于小学本身数学基础差和学习不认真，“基础不牢，地动山摇”。有的是由于课程增多，数学难度略有增大，还是“记忆型”的学习方法。有的是对数学没有兴趣，畏惧数学。这些都是一些孩子进入中学数学学不好的原因。培养兴趣，使数学不再枯燥，而是妙趣横生；对数学不再惧怕，而是兴味盎然。沿着“脚手架”，拾级而上，去体验数学学习的收获，享受进步的喜悦，从而获得持久的学习动力。