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易教网名师谈:数形结合看解析几何

【点击数:3296 更新时间:2013-11-27

      高中解析几何,是高考中最难的试题类型之一。很多高中女生通过自己的巨大努力,数学本来是能勉强跟上的,但是自从学到解析几何后便彻底的歇菜了,感觉束手无策,努力也学不会。解析几何一般是数学考试中压轴的难题,分重题难,就此放弃确实很可惜,而且现在出题都比较科学,题目一般都是分成几小问,难度呈阶梯上升,答对前面几小问也能得到不少分。从题型上分析,在高考中,解析几何会有1-2个填空题,1个选择题,一个解答题,分值25-30分,还是比较可观的。因此,希望大家都能重视解析几何,争取从解析几何上拿到分数。

      解析几何的知识点很多,考查时集中在直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线上面,具体的知识点和考查问题我就不在此多说,书上的例题和练习册上都有,这里只讲一下如何用数形结合去理解和学习解析几何。

      解析几何的基本思路是数形结合,用数学表达形状,用形状体现数学思想。说简单一点,大家可以思考一下我们学习几何最先接触的是什么?是直角坐标系对不对,直角坐标系(或极坐标)是将数学和形状结合起来的关键因素。如果没有坐标系,很难有什么办法将图形用数学的方法表达出来。而平面坐标系是二维的,能够将我们图形的信息表达出来。其实我们可以将任意的y=f(x)方程用图形表示出来,这个用画图的软件就很容易实现,只是很多图形不规则,或者不常见,没有去学习它的意义(比如y=x2*sinx,类似的随便写)。

      这里我们就要问了,我们学习的解析几何为啥只是直线和圆锥曲线呢,我想主要是因为这几种图形相对比较简单,现实中也比较常见,而且具有一些特殊的数学意义和特征,组合在一起能够很灵活的出题。这里以圆作为例子,比如x2+y2=1,我们先建立一个直角坐标系,然后在x,y的定义域内,将所有符合x2+y2=1这个条件的点在坐标系内标出来,组成的图形自然就是个圆了。反过来,对于一个圆,我们可以发现它圆周上的一点到中心点的距离都是相同的,在直角坐标系上就能写出圆的方程。拿一根绳子,一端固定在直角坐标系的中心点(0,0),拉直绳子,另一端(x,y)绕着中心点转一圈这个圆就出来了,圆的方程就是(x,y)到(0,0)的距离不变的点的集合,用数学表达式就是x2+y2=常数。而对于椭圆,将一根绳子的两端固定住,绳子不要绷直,然后取绳子中间任意一点,将绳子绷直,记下此时点的位置,这些点的集合便能在直角坐标系中画出椭圆,慢慢的增加两个端点之间的位置,画出的椭圆就更扁一些,减小两个端点之间的位置,画出的椭圆就更“圆”一些,如果两个端点的位置重合了,那么画出来的图形就是圆了。 

      简单的讲,到一个点距离不变的点组成的轨迹就是圆,到两个点的距离和不变的点组成的轨迹就是椭圆,那么到三个点距离不变的点组成的规矩是什么呢,大家考虑过没有,其实这个问题我们也能发散一下,如果这3点共线的话,这个轨迹是不存在的,如果3点不共线,那么轨迹就是一个点,该点就是连接3个点形成3条线段,任意2条线段的垂直平分线的交点就是这个点的位置。

      这里只是简单的提了一下数形结合,每一个解析几何题都是通过数学表达式去解的,数学和图形是不可分割的整体,我们在遇到解析几何的时候,一定要采用数形结合的思想去解答它。

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