名师点睛：怎样应用旋转解题

　　随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年中考数学命题的改革产生了重大影响。新课程标准下的初中数学教材，增添了图形变化的问题，使数学更贴近生活，几何变换这一重要的数学思想，在近几年的中考、竞赛试题中经常出现，这使得数学试题的解题方法和技巧更加灵活多变。只改变图形的位置，而不改变其形状大小，使几何图形重新组合，产生新的图形关系，从而找到解决问题的途径，这是进行几何变换的目的，其中旋转变换是最常见的手段之一。

　　旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形(或其中一部分图形)，通过旋转，改变位置后重新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

　　旋转变换是一种重要的几何变换，进行几何变换的目的有两个：

　　①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系；

　　②使分散的元素集中，从而使表面互不相干的条件变得密切相关。

　　什么时候考虑用旋转变换？怎样运用旋转变换呢？下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中的应用：

　　例1.如图，正方形abcd的边长为a，将正方形omnp的一顶点o放在正方形abcd的对角线ac、bd的交点处，你能求出两正方形重叠部分的面积吗？

　　这道题是初二课本上的一道课后练习题，当时我们解这道题时是从全等的角度来考虑的。现在我们可以尝试着用新方法——旋转来解这道题。

　　分析：重叠部分被分为两部分△ocf和△oce，而△ocf ≌△obe，△oce≌△odf，我们可以将△ocf绕点o顺时针旋转90°与原有的△obe重合，或将△oce绕点o逆时针旋转90°与原有的△odf重合。这样，通过旋转我们能轻而易举地知道重叠部分面积为正方形abcd面积的■，所以重叠部分面积为■a2。

　　解：∵ob=oc

　　∴将△ocf绕点o顺时针旋转90°

　　∴△ocf≌△obe

　　∴s阴影=s△obc

　　∴s阴影=■a2

　　这道题也可将△oec绕点o逆时针旋转90°，进行解答。

　　这道题是通过旋转使图形与原有图形重合，从而使重叠部分面积得到重新组合，使问题得到解决。这个以前做过的题目，我们换一个角度再看这道题目，又别有一番风景。在感观上认识旋转，了解旋转解题的简便之处。从中总结出用旋转解题的前提条件——相交等线段，从感性认识上升到理性认识。

　　练习1.如右图所示，分别以正方形abcd的边ab、ad为直径画半圆，若正方形的边长为a，求阴影部分的面积。

　　例2.如图所示，设p为等边△abc内的一点，∠apb=113°，∠apc=123°

　　问：(1)pa、pb、pc能否构成三角形？

　　(2)如果能构成三角形，请找出构成的三角形各内角的度数。

　　分析：已知三条线段看它能否构成三角形，方法大概有两种。从计算的角度求三边长度，比较三边大小，利用三角形三边关系，判断能否构成三角形。或从图形的角度，看能否将其放入一个三角形中。根据本题的实际情况求三边长度不是很现实，所以问题的解决就是看能否把三条线段放入一个三角形中。如何将三条线段放入同一个三角形中？考虑到ab、bc为两条相交等线段——利用旋转，很好地解决了这一问题。